6. Zložené úrokovanie

U účtoch sporenia a podobných foriem vkladov sa úrokový výnos pripočíta k istine a prepočítava sa nový úrokový výnos z vyššej istiny atď.  Úroková sadzba a doba splatnosti si musia odpovedať: teda ročná úroková sadzba, keď je udaná splatnosť v rokoch, mesačná úroková sadzba (= ročná úroková sadza: 12), keď sa použije doba splatnosti v mesiacoch.

Príklad
Pani Z si založí sporenie s 25 tisíc Sk, ktoré je úročené 9,5 %. Koľko má pani Z na tomto účte po piatich rokoch? Banka ročne pripisuje úrokový výnos k istine. Faktor úroku z úrokov pre päť rokov a 9,5 % úroková sadzba je podľa úrokových tabuliek 1,574239.
Konečná istina = 25 000 Sk x 1,574239 = 36 356 Sk.

Pri vkladoch s meniacou sa úrokovou sadzbou a často i pri pôžičkách medzi súkromnými osobami je získaná alebo uhradená výška úrokov známa, ale nie je známa (priemerná) úroková sadzba. Pokiaľ úroky nie sú pripisované k istine, tak platí:

Príklad č. 1
Pani X požičia svojej známej Y na pol roka 1 000,- Sk. Po pol roku dostane späť 1 050,- Sk, to znamená 1 000,- Sk pôvodne požičaných a 50 ,- Sk úroky. Ako vysoká je ročná úroková sadzba?

Pre prípad zloženého úrokovania (úroky z úrokov) – úrok je pripisovaný k istine a zúročený – najskôr sa prepočíta faktor úroku z úrokov podľa nasledujúceho vzorca a v úrokovacej tabuľke pre úroky z úrokov sa tak vyhľadá príslušná doba splatnosti.

Príklad č. 2
Pán W uložil pred piatimi rokmi na účet sporenie 15 tisíc Sk. Teraz je stav tohto účtu 20 tisíc Sk. Koľkými percentami bolo sporenie priemerne úročené?

                                            20 000
Faktor úroku z úrokov = –––––––––––––––––– = 1,33
                                            15 000

Z úrokovacej tabuľky sa vyhľadá pod splatnosťou päť rokov čiastka, ktorá je najbližšie 1,33 t. j. 1,338226 v stĺpci 6,0 %.


7. Úrokové náklady u spotrebných pôžičiek

Spotrebné pôžičky sa spravidla splácajú rovnako vysokými mesačnými splátkami. V mesačných splátkach sú zahrnuté ako úroky, tak i čiastočné umorenie pôžičky (tzv. anuitné splácanie pôžičky). K prepočtu mesačnej splátky musí súčet výšky pôžičky a úrokových nákladov byť rozložený na dobu splatnosti:

Príklad
Pán Q si požičia v sporiteľni 50 000,- Sk na 29 mesiacov. Aká drahá bude táto pôžička, keď úroková sadzba je stanovená vo výške 13 % a ako vysoká bude mesačná splátka?

                              50 000 x 13 x (29 + 1)
Úrokové náklady = ––––––––––––––––––––––– = 8 125,- Sk
                                      100 x 12 x 2

                            50 000 + 8 125
Mesačná splátka = ––––––––––––––––– = 2 004,31 Sk
                                       29


8. Ročná úroková sadzba pre spotrebné úvery

Príklad
Banka ponúka úver vo výške 250 tisíc Sk, splatiteľný v 24 mesačných splátkach vo výške 12 tisíc Sk. Aká úroková sadzba bola pre tento úver použitá?

Úverové náklady = (24 x 12 000) – 250 000 = 38 000,- Sk

                                         38 000 x 2 x 12 x 100
Ročná úroková sadzba = ––––––––––––––––––––––––– = 14,59 %
                                            250 000 x (24 + 1)


SÚČASNÁ A BUDÚCA HODNOTA PEŇAZÍ
Výklad základných prepočtov úrokov je vhodné doplniť o úvahy, ktoré výrazne ovplyvňujú rozhodovanie investorov o tom, kam voľné peňažné prostriedky vložiť. Jednou z týchto úvah je prepočet súčasnej a budúcej hodnoty peňažnej investície. Pojem súčasná hodnota a pojem budúca hodnota (rozumie sa hodnota peňazí v budúcnosti alebo v súčasnosti) vyjadrujú, že peňažná čiastka, ktorú subjekt obdrží v budúcnosti, za „n“ rokov, nemá rovnakú hodnotu ako čiastka, ktorú má už dnes vo svojej držbe. Inými slovami, každá peňažná jednotka, napr. koruna, ktorú obdržíme odo dneška za rok, má dnes menšiu hodnotu než koruna dnešná. Naopak dnešnú korunu môžeme uložiť ako vklad do banky a za rok máme viac než jednu korunu. Čiastka vkladu sa teda zväčší o úrok a takto zväčšená čiastka je budúcou hodnotou súčasných peňazí.

Úročiteľ
Údaj, ktorý uvádza, koľkokrát sa zväčší počiatočný vklad pri danej úrokovej miere za určitý počet rokov, sa nazýva úročiteľ. Všeobecne je vyjadrovaný:
(1 + i)n, /kde i = úroková miera, n = počet rokov./

Použijeme ho pri výpočte budúcej hodnoty súčasných peňazí takto:
Pn = Po x (1 + i)n

pričom:

Pn = budúca hodnota súčasných peňazí
Po = počiatočný vklad, čiastka, ktorú subjekt k dnešnému dňu uloží/zapožičia inému subjektu, teda súčasná hodnota.
(1 + i)n = úročiteľ, býva označovaný „r“ a pod.
n = počet rokov

kde:
p = %

V prípade, že Po = Sk 1 000 a úroková miera = 4 %, potom za prvý rok sa táto suma zväčší nasledovne:
z tabuliek zistíme, že rI = 1,040 a dosadíme:
PI = 1 000 x 1,040 = 1 040
V druhom roku dôjde ku zväčšeniu, r2 = 1,0816, preto dosadíme:
P2 = 1 000 x 1,0816 = 1 081,60 atď.
Odúročiteľ (diskont)

Naproti tomu údaj, ktorý uvádza, koľkokrát menšia je súčasná hodnota budúcich peňazí (teda koľkokrát menšia je z hľadiska súčasnej hodnoty peňažná čiastka, ktorú obdržíme v budúcnosti) za určité obdobie, napr. rok, pri danej úrokovej miere, je nazývaný odúročiteľ alebo diskont. Má vzorec:

                 1
r-n = ––––––––––––
              (1+i)n

kde r-n = odúročiteľ

Súčasná hodnota je diskontovanou budúcou hodnotou. Vzorec pre jej výpočet je nasledujúci:

kde:
Po = súčasná (diskontovaná) hodnota určitej peňažnej čiastky, ktorú obdržíme v budúcnosti,
Pn = peňažná čiastka, ktorú v budúcnosti obdržíme,
i = úroková miera,
n = počet období/rokov.

V praxi sú veličiny úročiteľa a odúročiteľa tabuľkované, predtým presne prepočítané v tabuľkách či zaradené do počítačových programov. Rozlišované sú ešte ďalej úročitele a odúročitele pri úrokovaní tzv. dekurzívnom (polehotnom, úrok sa platí koncom lehoty, koncom obdobia) a pri úrokovaní tzv. anticipatívnom (predlehotnom, úrok sa platí dopredu, na začiatku úrokovej lehoty, kedy veriteľ si hneď na začiatku zadrží úrok a vyplatí dlžníkovi pôžičku zníženú o príslušný úrok).

Prepočty súčasnej hodnoty (a budúcej hodnoty), presnejšie súčasnej hodnoty budúcich peňažných príjmov (a budúcej hodnoty súčasných peňažných vkladov) sú používané pre jednotlivé druhy finančných aktív (pôžičiek, cenných papierov ap.), s rôznou dobou splatnosti, väčšinou pre porovnávanie výnosnosti jednotlivých druhov. Úroková miera, ktorá porovnáva súčasnú hodnotu budúcich peňažných príjmov s jej dnešnou hodnotou, je výnosom do doby splatnosti.

Zhrnutie
Z uvedeného možno vyvodiť (okrem iného):
• pravidlo investovania: investície majú priniesť maximálnu súčasnú hodnotu výnosu; výnos je rozdielom medzi diskontovanou budúcou hodnotou investície a veľkosťou počiatočného vkladu do tejto investície;
• pravidlo výnosovej miery: mezní výnos z investície sa má rovnať výnosovej miere z ekvivalentných investícií na finančnom trhu.

Obidve pravidlá sú použiteľné pre obchody bánk s jej aktívami, v širšom merítku pre akéhoľvek investovanie ktoréhokoľvek investora.