Rovnice a nerovnice

Slovo riešenie sa používa v dvoch významoch: jednak znamená koreň (korene) rovnice t.j. číslo, ktoré po dosadení do rovnice dá pravdivý výrok a jednak znamená celý postup, krorý vedie k určeniu koreňov rovnice.
Každá rovnica musí obsahovať charakteristické prvky rovnice, ktorými sú : rovnítko, neznáme a známe čísla navzájom viazané rovnítkom a zmysluplnosť príkazu(“riešte rovnicu”).
Úlohy rovnicového charakteru delíme na:
1. úlohy, ktoré možno úplne vyriešiť, tak že ich vymodelujeme rovnicou
2. úlohy, v ktorých riešenie rovnice je iba súčasťou širšieho myšlienkového procesu riešenia úlohy
Úlohám z prvej skupiny hovoríme modelové a rozdelujeme ich podľa zadania na slovné (2,20,21) a schematické či obrázkové(1,6,22). Ciele vyučovania rovníc:
1. prehĺbiť záujem žiaka o matematiku, motivovať ho
2. rozvíjať jeho schopnosť modelovať reálne situácie v jazyku rovníc
3. rozšíriť žiakove skúsenosti s rovnicami a ich riešeniami
4. využiť rovnice na precvičovanie rôzynych oblastí matematiky
5. získať zručnosť a istotu v riešení niektorých dôležitých typov rovníc
6. rozvíjať abstraktné pohľady na rovnice, kultivovať logiku a schopnosť dedukovať
Z minulosti sa zachovali staré relikvie, ktoré dosvečujú, že už satí babylónčania vedeli riešiť rovnice, avšak ich netóda bola primitívna. Ide o metódu pokus-omyl, ktorá je zameraná na dosadzovanie čísiel do rovnice.Z tejto metódy vychadza podobná metóda ktorá sa nazýva tabuľková.
Na to aby sme dokázali vyriešiť rovnicu potrebujeme poznať operácie ktoré nám umožnia dostať pôvodnú rovnicu do stavu, z ktorého jednoznačne vieme povedať aké čísla sú riešením danej rovnice. Takéto operácie nazývame ekvivalentnými (+,-,*, / ). Použitím neekvivalentných úprav by sme síse mohli dostať riešenia, ale nemuseli by byť správne.

Štandardné typy rovníc.

1. Lineárne rovnice s jednou neznámou
Ide o rovnice typu ax + b = 0. Ak a <> 0, tak rovnica má práve jedno riešenie.
Lineárne rovnice sú prvé rovnice s ktorými sa žiaci stretnú v 1. stupni na ZŠ.
2. Slovné rovnice
S týmto typom rovníc sa žiaci stretávajú v 1. ročíku na ZŠ. Najčastejšie sa používajú 2 spôsoby riešenia: a, úsudkom b, aritmetickým modelovaním.
3. Kvadratické rovnice
sú zadané typom ax2 + bx + c = 0. V tomto type sa kladie dôraz na poznatky. Ako sa riešia korene rovnice.

x1 = (-b +√D)/2a, x2 == (-b -√D)/2a kde disriminant D = b2 + 4ac.
Rýchla je metóda úpravy na úplný vzorec: a(x – b/2a ) + c - b2 /4a = 0.
4. Rovnice s absolútnymi hodnotami
Túto rovnicu je možné riešiť viacerými spôsobmi. Najpoužívanejšie sú: Úplný zoznam možností, rozklad množiny, Umocnenie, grafy funkcií alebo geometrická interpretácia.
Pr.: |x-1| = |x +7|
5. Rovnice s parametrom
Ide azda o najnáročnejší druh rovníc preberaných na SŠ. Pr.: p2 x +1 = p + x.
6. Sústavy lineárnych rovníc
Na ZŠ sa žiaci stretnú so sústavou 2 lineárnych rovníc s 2 neznámymi. Na riešenie sa používa dosadzovacia (sustitučná) metóda, porovnávacia, sčítacia, grafická, pomocou determinantov, úpravou matice na trojuholníkový tvar alebo pomocou inverznej matice.
7. Iracionálne rovnice
Sú chrakteristické dvoma osobitosťami: prácou s odmocninami a neekvivalentnými operáciami. Takýto typ rovnice sa často rieši umocnením oboch strán alebo použijeme elegantnejšiu metódu substitúcie.
8. Algebraické rovnice vyššieho stupňa
Ide o rovnice, ktorých základy sa začínajú riešiť na SŠ. Tieto rovnice majú úzsky vzťah k polynómom, geometrii a analýze.
9. Exponenciálne a logaritmické rovnice
V takomto type rovníc sa využívajú vety o súčine, podiele a mocnine logaritmov, ako i iné vzťahy.
10. Goniometrické rovnice
Medzi jednoduché goniometrické rovnice typu sin x = a, cos x = a, tg x = a, cotg x = a.

Nerovnice

Podobne ako rovnica, aj nerovnica je predovšetkým výzva na riešenie, hľadanie množiny všetkých tých x z R, ktoré danej nerovnici vyhovujú. Rozdiel medzi nimi je v kvalite množiny jej riešení, v spôsobe riešenia a vo význame skúšky. Zvyčajne je množina riešení rovnice konečná a nerovnice nekonečná. Operácie, ktoré platia v rovniciach sú platné i v nerovniciach.