Shannonův teorém

Zamysleme se nyní nad jednou velmi důležitou otázkou, která je zvláště aktuální u komutovaných (vytáčených) linek veřejné telefonní sítě: máme-li k dispozici určitou přenosovou cestu s jejími konkrétními a neměnnými obvodovými vlastnostmi, můžeme na ní dosáhnout libovolně vysoké přenosové rychlosti? Neboli, řečeno jinými slovy: budeme-li zdokonalovat technickou stránku přenosu a díky tomu zvyšovat přenosovou rychlost na určité přenosové cestě, budeme to moci dělat libovolně dlouho, nebo někde narazíme na nějakou z principu nepřekonatelnou bariéru? Nebo ještě jinak: když dnes existují modemy pro komutované linky veřejné telefonní sítě pracující s přenosovou rychlostí 28,8 kilobitů za sekundu, má smysl ještě chvíli počkat, až se na trhu objeví třeba modemy s rychlostí 64 kbps, 128 kbps apod.?
Odpověď začneme hledat vzorečcích a vztazích, které jsme si již dříve naznačili: jestliže maximální modulační rychlost je podle Nyqistova kritéria dvojnásobná oproti dostupné šířce přenosového pásma, a tato šířka přenosového pásma je pro danou přenosovou cestu fixována (je neměnná), pak z toho jednoduše vyplývá, že modulační rychlost nelze libovolně dlouho zvyšovat (a její maximální hodnota je také pevně dána). Jestliže přenosová rychlost závisí na modulační rychlosti podle dnes již jednou uvedeného vzorečku

vpřenosová=vmodulační * log2(n)

pak poslední možností pro zvyšování přenosové rychlosti je zvyšování parametru n, neboli zvyšování počtu rozlišovaných stavů přenášeného signálu. Výsledná přenosová rychlost by při lineárním zvyšováním n sice rostla pomaleji (logaritmicky), ale přesto bychom se při dostatečně vysoké hodnotě n mohli dostat s přenosovou rychlostí tak vysoko, jak potřebujeme.

Podívejme se ale na tuto možnost nejprve obyčejným „selským rozumem": budeme-li zvyšovat počet možných stavů přenášeného signálu, bude čím dál tím těžší je správně rozpoznat, resp. rozlišit od sebe. Intuitivně je tedy vcelku zřejmé, že něco takového nemůžeme dělat libovolně dlouho, ale že dříve či později narazíme na mez, za kterou už příjemce nebude schopen dostatečně přesně rozlišit stavy přijímaného signálu.

Zajímavou otázkou ovšem je, zda tato mez je dána našimi momentálními schopnostmi, resp. dokonalostí přenosové techniky a je možné očekávat její postupné posouvání, nebo zda jde o mez závislou na něčem jiném, co nemá s dokonalostí dostupné techniky nic společného (a co se tudíž nemusí posunout ani při sebedokonalejší technice).

Odpověď je (bohužel) taková, že zmíněná hranice je principiálního charakteru, a je nezávislá na dokonalosti naší techniky a technologie. Jinými slovy: i kdyby se výrobci modemů snažili sebevíce, přes onu magickou hranici se nikdy nedostanou.

Ale kde ona hranice leží? Tím, kdo tuto hranici nalezl (v roce 1948), byl zakladatel moderní teorie informace, pan Claude Shannon. Ten totiž zjistil, že maximální dosažitelná přenosová rychlost závisí jednak na dostupné šířce přenosového pásma (což je ihned zřejmé), ale pak už jen na „kvalitě" přenášeného signálu, vyjádřené tím jak dobře jej lze odlišit od nepříznivých vlivů, zejména všudypřítomného šumu. Konkrétní vzoreček závislosti přenosové rychlosti na uvedených veličinách, označovaný také jako tzv. Shannonův teorém, je následující:

maximální vpřenosová=šířka pásma * log2(1 + signál/šum)

Přitom poměr „signál/šum" (též: odstup signálu od šumu) je veličina, která je opět dána reálnými obvodovými vlastnostmi konkrétní přenosové cesty, a v praxi většinou není možné ji výrazněji ovlivnit (vyjadřuje totiž míru toho, jak se do „užitečného" signálu přimíchávají jiné signály rušivého charakteru). Například kvalitní komutovaná linka analogové veřejné telefonní sítě dosahuje odstupu signál/šum 1000:1. Dosazením této hodnoty do Shannonova vzorečku (spolu s šířkou přenosového pásma 3,1 kHz) nám vyjde, že maximální dosažitelná přenosová rychlost na běžných komutovaných linkách veřejné telefonní sítě je kolem 30 000 bitů za sekundu!!

Kupte si perpetuum mobile!

Uvědomme si dobře, co právě vyslovené tvrzení znamená: Shannonův teorém je zcela nezávislý na technické dokonalosti - nenajdete v něm ani vliv použité modulace, ani vliv použitého kódování. To ale znamená, že sebedokonalejší technika přenosu dat nemůže při pevně dané šířce pásma a kvalitě přenosu (dané odstupem signálu od šumu) překročit mez danou Shannonovým teorémem. Snahy překonat tuto mez pak mají stejnou šanci na úspěch, jako snahy sestrojit perpetuum mobile.
Jaká je ale současná praxe v oblasti telefonních modemů pro komutované linky veřejné telefonní sítě? Dnes již existují (a jsou běžně k dostání) modemy pro přenosovou rychlost 28,8 kbps, které se teoretické hranici vyplývající z Shannonova teorému velmi blíží. Svědčí to mimo jiné i o vyspělosti naší současné techniky.

Na trhu však již dnes jsou i modemy, dosahující přenosové rychlosti 33 kilobitů, což je nad hranicí danou Shannonovým teorémem (a nejde přitom o podvod). Podařilo se tedy zkonstruovat perpetuum mobile, resp. vyvrátit Shannonův teorém?

Nikoli, to skutečně nejde. Zmíněné modemy pro 33 kbps plně respektují Shannonův teorém, neboť používají o něco větší šířku pásma než původních 3,1 kHz. Dokáží totiž využít i okrajové části přenosového spektra běžných komutovaných linek veřejné telefonní sítě (viz obrázek), které již mají natolik špatné přenosové vlastnosti, že pro ostatní modemy nejsou použitelné - vlastně si tím dokáží „roztáhnout" původní přenosové pásmo o šířce 3,1 kHz.