Simulácia šírenia epidémie v Matlabe
Formulácia úlohy: Pomocou diferenciálnych rovníc simulujte zadaný biologický systém
1.Popis systému
2.Riešenie v matlabe
3.Výsledky animácie
4.Záver
Vypracovanie
1.Popis systému: Ako sa modelujú epidémie? V matematických modeloch budeme predpokladať, že veľkosť populácie je približne konštantná. Ak sa vo veľkej populácií objaví malá skupina indikovaných jedincov, je základným problémom popísať šírenie infekcie v populácii ako funkciu času. Matematický popis samozrejme závisí na veľa okolnostiach, vrátane charakteru choroby. Prvým krokom pri modelovani priamo prenášaných ochorení musí byť formulácia niektorých nezávažných predpokladov. Predpokladajme, že chorý je po zotavení imunní (sem zahrnieme i mŕtvych, ktorí sa budú naďalej počítať). Potom môžeme populáciu rozdeliť do troch rozdielnych skupín; na zdravých a zároveň ohrozených (skupina S), ktorí sa môžu nakaziť; infikovaných (skupina I), ktorí sú chorí a môžu chorobu prenášať; a na skupinu, do ktorej budú patriť tí, ktorí buď chorobu mali, alebo sú imunní, alebo boli izolovovaní, aj keď získali imunitu (skupina R). Vzťah medzi jednotlivými skupinami môžeme schématicky zobraziť. Matematické modely tochto typu sa často označujú ako modely SIR. Predpoklady o prenosu infekcie a inkubačnej dobe sú pre každý epidemiologický model zásadne. Označíme S(t), I(t) a R(t) počet jedincov v každej triede a budeme predpokladať, že:
1.rýchlosť prírastkov v skupine infikovaných je úmerná počtu infikovaných a zdravých, potom rS(t)I(t), kde r>0 je konštanta úmernosti. Zdravých jedincov rovnakou rýchslosťou ubúda.
2.rýchlosť presunu infikovaných do skupiny R je úmerná počtu infikovaných, potom aI(t), kde a>0 je opäť konštanta úmernosti.
3.Inkubačná doba choroby je tak krátka, že ju je možné zanedbať. To znamená že zdravý jedinec, ktorý stretne chorého, sa okamžite nakazí.
Budeme vychádzať z predpokladu, že jednotlivé skupiny (S,I,R) sú náhodne pomiešané, že je potom rovnaká preňavdepodobnosť pre ktorýchkoľvek dvoch jedincov, že sa stretnú. Za týchto predpokladov možno matematický model šírenia epidémie zapísať v tvare
dS(t)/dt= -rS(t)I(t)
dI(t)/dt= rS(t)I(t)-aI(t) (1)
dR(t)/dt= aI(t)
kde r>0 je perameter pravdepodobnosti nákazy a a>0 parameter rýchlosti presunu infikovaných do skupiny R. Matematický model (1) je klasický Kermackov-Mckendrickov model šírenia epidémie.
Na tomto jednoduchom matematickom modely preto môžeme zistiť niekoľko veľmi podstatných poznatkov o epidémii a správne popísať niektoré epidémie. V matematickom modely (1) považujeme celkovú veľkosť populácie za konštantnú, čo možno zapísať rovnicami v tvare
S(t) + I(t) + R(t) = N
dS(t)/dt + dI(t)/dt + dR(t)/dt = 0 (2)
kde N je celková veľkosť populácie. Do N potom patria S,I i R. Aby bola matematická formulácia problému šírenia epidémie kompletná, zadáme ešte počiatočné podmienky
S(0) = S0 > 0
I(0) = I0 > 0
R(0) = 0
Je mnoho modifikácií a rozšítení, ktoré môžu a často tiež musia byť zahrnuté v epidemických modeloch, záleží výhradne na type choroby, pre ktorú sa zostavuje matematický model. 4. marca 1978 podal British Medical Journal správu s detailnou štatistikou chrípkovej epidémie na chlapčenskej internátnej škole so 763 žiakmi. Z nich 512 behom epidémie, ktorá trvala od 22. januára do 4. februára, ochorelo. Epidémiu pravdepodobne spôsobil jeden infikovaný chlapec. Zistené experimentálne údaje boli pomocou optimalizačných metód spracované a boli získané hodnoty parametrov a počiatočných podmienok.
S(0) = 762 [x(1)]
R(0) = 0 [x(2)]
I(0) = 1 [x(3)]
a = 0,44 deň –1
r = 2,18 x 10-3 deň –1
2. Riešenie v matlabe:
Zadanie funkcie v súbore epidemia.m:
function Xder = epidemia (t,x)
a = 0.44 ; r = 2.18*10^-3 ;
Xder = [-r*x(1)*x(2);
r*x(1)*x(2) – a*x(2);
a*x(2)]
Zadanie príkazov v matlabe:
[t,x] = ode 45 (‘epidemia’, [0,14], [762,1,0])
plot ( t, x ( : , 1) )
hold on
plot ( t, x ( : , 2) )
plot ( t, x ( : , 3) )
3. Výsledky animácie
4. Záver: Simuláciou dynamického systému (šírenie epidémie) v matlabe popísaného pomocou diferenciálnych rovníc sme získali horeuvedené grafické riešenie.
|
