EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:




1) Určte vektor b = 3a1 + 5a2 – 2a3, keď a1=(4,1,3) , a2= (1,0,3) , a3= (1,1,1).

POSTUP: b = 3a1 + 5a2 – 2a3
b = 3(4,1,3) + 5(1,0,3) – 2(1,1,1)
b = (12,3,9) + (5,0,15) – (2,2,2)
b = (15,1,22)

ODPOVEĎ: b =(15,1,22)



2) Nájdite vektor x, pre ktorý platí:

a) 2x + 3a = b a=(1,0,0) b=(-1,1,-2)

POSTUP:
2x + 3a = b
2x + 3(1,0,0) = (-1,1,-2)
2x + (3,0,0) = (-1,1,-2)
2x = (-1,1,-2) – (3,0,0)
2x = (-4,1,-2)
x = (-2, ½, -1)


ODPOVEĎ: x = (-2,1/2,-1)



b) x + a = 0 a = (2,-7,3,-2)


POSTUP: x + a = 0
x + (2,-7,3,-2) = 0
x = (-2,7,-3,2)

ODPOVEĎ: x = (-2,7,-3,2)














PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Základné operácie s vektormi
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:



c) 2(a – x) + 3(b + x) = 4(c + x) a=(3,2,5,0) b=(8,-1,10,2) c=(7,3,3,3)

POSTUP: 2(a – x) + 3(b + x) = 4(c + x)
2a – 2x + 3b + 3x = 4c + 4x
2(3,2,5,0) – 2x + 3(8,-1,10,2) + 3x = 4(7,3,3,3) + 4x
(6,4,10,0) – 2x + (24,-3,30,6) + 3x = (28,12,12,12) + 4x
(30,1,40,6) – (28,12,12,12) = 3x
(2,-11,28,-6) = 3x
(2/3, -11/3, 28/3, -2) = x


ODPOVEĎ: x=(2/3, -11/3, 28/3, -2)


d) x = a + 2(b – 3c) – 3(c – 5a) a=(2,0,1) b=(3,2,1) c=(0,0,1)

POSTUP: x = a + 2(b – 3c) – 3(c – 5a)
x = a + 2b – 6c – 3c + 15a
x = 16a + 2b – 9c
x = 16(2,0,1) + 2(3,2,1) – 9(0,0,1)
x = (32,0,16) + (6,4,2) – (0,0,9)
x = (38,4,9)

ODPOVEĎ: x = (38,4,9)



3) Nájdite vektor x, pre ktorý platí 2x + 3a = 2(6b – x)

a) a=(2,1,1) b = (1,-1,2,1)

POSTUP: dané zadanie nemá riešenie, pretože vektor a sa nachádza v trojrozmernom priestore a vektor b vo štvorrozmernom priestore.

ODPOVEĎ: nemá riešenie



b) a=(1,-1,2) b=(2,1,1)

POSTUP: 2x + 3a = 2(6b – x)
2x + 3a = 12b – 2x
4x = 12b – 3a
4x = 12(2,1,1) – 3(1,-1,2)
4x = (24,12,12) – (3,-3,6)
4x = (21,15,6)
x = (21/4, 15/4, 3/2)

ODPOVEĎ: x = (21/4, 15/4, 3/2)


PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Elementárna zmena bázy vektorového priestoru
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:


1) Zistite, či vektory a=(3,1,-2,2), b=(9,3,-3,6), c=(6,5,-1,4), d=(6,2,-5,4) tvoria bázu vo V4

POSTUP: Vektory prirodzenej bázy E={e1. e2. e3. e4} nahradíme vektormi a, b, c, d

1.

Báza a b c d
e1 3 9 6 6
e2 1 3 5 2
e3 -2 -3 -1 -5
e4 2 6 4 4

2.

Báza a b c d
a 1 3 2 2
e2 0 0 3 0
e3 0 3 3 1
e4 0 0 0 0

3.

Báza a b c d
a 1 0 -1 1
e2 0 0 3 0
b 0 1 1 1/3
e4 0 0 0 0



ODPOVEĎ: Vektory a, b, c, d netvoria bázu vo V4, pretože nie je možné nahradiť vektory e2, e4 vektormi a, d.





PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Elementárna zmena bázy vektorového priestoru
ROČNÍK: 1.