Vektory, zmeny báz vektorového priestoru
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
1) Vyjadrite vektor a (1,4,3) ako lineárnu kombináciu vektorov b=(2,0,0), c=(1,1,1),
d=(3,4,0).
POSTUP:
a = k1b + k2c + k3d
a = k1(2,0,0) + k2(1,1,1) + k3(3,4,0)
a = (2k1) + (k2, k2, k2) + (3k3, 4k3)
1 = 2k1 + k2 + 3k3
4 = k2 + 4k3
3 = k2
4 = k2 + 4k3 1 = 2k1 + k2 + 3k3
4 = 3 + 4k3 1 = 2k1 + 3 + ¾
1 = 4k3 2k1 = 1 – 3 – ¾
¼ = k3 2k1 = - 11/4
k1 = -11/8
ODPOVEĎ: k1=-11/8 ^ k2=3 ^ k3=1/4 => a=(-11/8, 3, ¼)
2) Vyjadrite vektor a=(2,-3,1) ako lineárnu kombináciu vektorov e1= (1,0,0), e2= (0,1,0),
e3= (0,0,1).
POSTUP:
a = k1e1 + k2e2 + k3e3
a = k1(1,0,0) + k2(0,1,0) + k3(0,0,1)
a = k1 + k2 + k3
2 = k1
-3 = k2
1 = k3
ODPOVEĎ: k1=2 ^k2=-3 ^k3=1 => a=(2,-3,1)
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
3) Vyjadrite vektor c ako lineárnu kombináciu vektorov a1, a2, b, keď c = 4a1 + 2a2 + a3, b = 3a1 – 4a2 + 5a3
POSTUP:
c = 4a1 + 2a2 + a3 => a3 = c – 4a1 – 2a2
b = 3a1 – 4a2 + 5a3
b = 3a1 – 4a2 + 5(c – 4a1 – 2a2)
b = 3a1 – 4a2 + 5c – 20a1 – 10a2
b = -17a1 + 14a2 + 5c
5c = 17a1 + 14a2 – b
ODPOVEĎ: 5c = 17a1 + 14a2 – b
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Základné operácie s vektormi
ROČNÍK: 1.
EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
1) Určte vektor b = 3a1 + 5a2 – 2a3, keď a1=(4,1,3) , a2= (1,0,3) , a3= (1,1,1).
POSTUP: b = 3a1 + 5a2 – 2a3
b = 3(4,1,3) + 5(1,0,3) – 2(1,1,1)
b = (12,3,9) + (5,0,15) – (2,2,2)
b = (15,1,22)
ODPOVEĎ: b =(15,1,22)
2) Nájdite vektor x, pre ktorý platí:
a) 2x + 3a = b a=(1,0,0) b=(-1,1,-2)
POSTUP:
2x + 3a = b
2x + 3(1,0,0) = (-1,1,-2)
2x + (3,0,0) = (-1,1,-2)
2x = (-1,1,-2) – (3,0,0)
2x = (-4,1,-2)
x = (-2, ½, -1)
ODPOVEĎ: x = (-2,1/2,-1)
b) x + a = 0 a = (2,-7,3,-2)
POSTUP: x + a = 0
x + (2,-7,3,-2) = 0
x = (-2,7,-3,2)
ODPOVEĎ: x = (-2,7,-3,2)
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Základné operácie s vektormi
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
c) 2(a – x) + 3(b + x) = 4(c + x) a=(3,2,5,0) b=(8,-1,10,2) c=(7,3,3,3)
POSTUP: 2(a – x) + 3(b + x) = 4(c + x)
2a – 2x + 3b + 3x = 4c + 4x
2(3,2,5,0) – 2x + 3(8,-1,10,2) + 3x = 4(7,3,3,3) + 4x
(6,4,10,0) – 2x + (24,-3,30,6) + 3x = (28,12,12,12) + 4x
(30,1,40,6) – (28,12,12,12) = 3x
(2,-11,28,-6) = 3x
(2/3, -11/3, 28/3, -2) = x
ODPOVEĎ: x=(2/3, -11/3, 28/3, -2)
d) x = a + 2(b – 3c) – 3(c – 5a) a=(2,0,1) b=(3,2,1) c=(0,0,1)
POSTUP: x = a + 2(b – 3c) – 3(c – 5a)
x = a + 2b – 6c – 3c + 15a
x = 16a + 2b – 9c
x = 16(2,0,1) + 2(3,2,1) – 9(0,0,1)
x = (32,0,16) + (6,4,2) – (0,0,9)
x = (38,4,9)
ODPOVEĎ: x = (38,4,9)
3) Nájdite vektor x, pre ktorý platí 2x + 3a = 2(6b – x)
a) a=(2,1,1) b = (1,-1,2,1)
POSTUP: dané zadanie nemá riešenie, pretože vektor a sa nachádza v trojrozmernom priestore a vektor b vo štvorrozmernom priestore.
ODPOVEĎ: nemá riešenie
b) a=(1,-1,2) b=(2,1,1)
POSTUP: 2x + 3a = 2(6b – x)
2x + 3a = 12b – 2x
4x = 12b – 3a
4x = 12(2,1,1) – 3(1,-1,2)
4x = (24,12,12) – (3,-3,6)
4x = (21,15,6)
x = (21/4, 15/4, 3/2)
ODPOVEĎ: x = (21/4, 15/4, 3/2)
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Elementárna zmena bázy vektorového priestoru
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
1) Zistite, či vektory a=(3,1,-2,2), b=(9,3,-3,6), c=(6,5,-1,4), d=(6,2,-5,4) tvoria bázu vo V4
POSTUP: Vektory prirodzenej bázy E={e1. e2. e3. e4} nahradíme vektormi a, b, c, d
1.
Báza a b c d
e1 3 9 6 6
e2 1 3 5 2
e3 -2 -3 -1 -5
e4 2 6 4 4
2.
Báza a b c d
a 1 3 2 2
e2 0 0 3 0
e3 0 3 3 1
e4 0 0 0 0
3.
Báza a b c d
a 1 0 -1 1
e2 0 0 3 0
b 0 1 1 1/3
e4 0 0 0 0
ODPOVEĎ: Vektory a, b, c, d netvoria bázu vo V4, pretože nie je možné nahradiť vektory e2, e4 vektormi a, d.
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Elementárna zmena bázy vektorového priestoru
ROČNÍK: 1.
EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
2) Nájdite súradnice vektora b=(25,74,61) v báze
a) a1=(1,2,1) a2=(3,9,7) e3=(0,0,1)
POSTUP:
a) nahradením e1 a e2 v prirodzenej báze vektormi a1 a a2
1.
Báza a1 a2 e3 b
e1 1 3 0 25
e2 2 9 0 74
e3 1 7 1 61
2.
Báza a1 a2 e3 b
a1 1 3 0 25
e2 0 3 0 24
e3 0 4 1 36
3.
Báza a1 a2 e3 b
a1 1 0 0 1
a2 0 1 0 8
e3 0 0 1 4
ODPOVEĎ: b = a1 + 8a2 + 4e3
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Elementárna zmena bázy vektorového priestoru
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
b) vektory e1, e2, e3 prirodzenej bázy nahradením vektormi a1, a2, a3. Zápis bude robený v skrátenej forme (vynechané vektory, ktoré sa stávajú jednotkové)
1. Báza a1 a2 a3 b
e1 1 3 4 25
e2 2 9 14 74
e3 1 7 14 61
2.
Báza a2 a3 b
a1 3 4 25
e2 3 6 24
e3 4 10 36
3.
Báza a3 b
a1 -2 1
a2 2 8
e3 2 4
4.
Báza b
a1 5
a2 4
a3 2
ODPOVEĎ: b = 5a1 + 4a2 + 2a3
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Elementárna zmena bázy vektorového priestoru
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
3) Zistite, či sa dá vektor a3=(2,4,8) vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov a1=(1,2,3) a a2=(3,6,7)
1.
Báza a1 a2 a3
e1 1 3 2
e2 2 6 4
e3 3 7 8
2.
Báza a2 a3
a1 3 2
e2 0 0
e3 -2 2
3.
Báza a3
a1 5
e2 0
a2 -1
ODPOVEĎ: Pre výpočet súradníc v novej báze nezávisí od poradia, v akom nahrádzame vektory. Vektor a3 sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov a1 a a2 => a3 = 5a1 – a2
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Elementárna zmena bázy vektorového priestoru
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
4) Nájdite súradnice vektora x v báze a, b, c, keď:
a) x=(6,9,14) a=(1,1,1) b=(1,1,2) c=(1,2,3)
POSTUP:
1.
Báza a b c x
e1 1 1 1 6
e2 1 1 2 9
e3 1 2 3 14
2.
Báza b c x
a 1 1 6
e2 0 1 3
e3 1 2 8
3.
Báza c x
a -1 -2
e2 1 3
b 2 8
4.
Báza x
a 1
c 3
b 2
ODPOVEĎ: x = a + 2b + 3c
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Elementárna zmena bázy vektorového priestoru
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
b) x=(6,2,-7) a=(2,1,-3) b=(3,2,-5) c=(1,-1,1)
1.
Báza a b c x
e1 2 3 1 6
e2 1 2 -1 2
e3 3 -5 1 -7
2.
Báza b c x
e1 -1 3 2
a 2 -1 2
e3 1 -2 -1
3.
Báza c x
e1 1 1
a 3 4
b -2 -1
4.
Báza x
c 1
a 1
b 1
ODPOVEĎ: x = a + b + c
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Zadanie úloh z konzultácie
ROČNÍK: 1.
EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
1) Nájdite súradnice vektora x=(2,-1,3,0) v báze, ktorá obsahuje všetky tri vektory a=(1,1,1,1), b=(0,-1,2,0), c=(3,0,0,4)
POSTUP: Vektory e1, e2, e3 prirodzenej bázy nahradením vektormi a, b, c => nové súradnice vektora x
1.
Báza a b c x
e1 1 0 3 2
e2 1 -1 0 -1
e3 1 2 0 3
e4 1 0 4 0
2.
Báza b c x
a 0 3 2
e2 -1 -3 -3
e3 2 -3 1
e4 0 1 -2
3.
Báza b x
a 0 8
e2 -1 -9
e3 2 -5
c 0 -2
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Zadanie úloh z konzultácie
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
4.
Báza x
a 8
b 9
e3 -23
c -2
ODPOVEĎ: x = 8a + 9b – 23e3 – 2c
SKÚŠKA SPRÁVNOSTI: x = 8a + 9b - 23e3 – 2c => x = 8(1,1,1,1) + 9(0,-1,2,0) - 23(0,0,1,0)
- 2(3,0,0,4) => x = (8,8,8,8) + (0,-9,18,0) + (0,0,-23,0) + (-6,0,0,-8) => x =(2,-1,3,0)
2) Zistite, či vektory a=(2,1,-1), b=(1,0,2) a c=(3,2,-4) sú lineárne závislé.
POSTUP: Vektory e1, e2, e3, e4 prirodzenej bázy nahradím vektormi a, b, c
1.
Báza a b c
e1 2 1 3
e2 1 0 2
e3 -1 2 -4
2.
Báza b c
e1 1 -1
a 0 2
e3 2 -2
3.
Báza c
b -1
a 2
e3 0
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Zadanie úloh z konzultácie
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
ODPOVEĎ: Pretože nie je možné nahradiť vektor e3 vektorom c, je vektor c lineárnou kombináciu vektorov a a b. c = 2a - b
SKÚŠKA SPRÁVNOSTI: c = 2a – b => c = 2(2,1,-1) - (1,0,2) => c = (3,2,-4).
3) Zistite, či vektory r=(1,2,-1,3), l=(2,0,1,1), q=(0,4,-3,5), m=(1,-2,2,-2) tvoria bázu
POSTUP: Vektory e1, e2, e3, e4 prirodzenej bázy nahradením vektorov r, l, q, m
1.
Báza r l q m
e1 1 2 0 1
e2 2 0 4 -2
e3 -1 1 -3 2
e4 3 1 5 -2
2.
Báza l q m
r 2 0 1
e2 -4 4 -4
e3 3 -3 3
e4 -5 5 -5
3.
Báza q m
r 2 -1
l -1 1
e3 0 0
e4 0 0
PREDMET: MATEMATIKA
NÁZOV: Zadanie úloh z konzultácie
ROČNÍK: 1. EŠ LF TU vo Zvolene
MENO:
ODPOVEĎ: Vektory r, l, q a m netvoria bázu, pretože vektory q a m sú lineárnou kombináciou vektorov r a l.
SKÚŠKA SPRÁVNOSTI: q = 2r – l => q = 2(1,2,-1,3) - (2,0,1,1) => q = (0,4,-3,5)
m = l - r => m = (2,0,1,1) - (1,2,-1,3) => m = (1,-2,2,-2).
|
