Matematika - Zadanie maturitných príkladov
1A – VÝROKY A OPERÁCIE S VÝROKMI. NEGÁCIA KVANTIFIKOVANÝCH A ZLOŽENÝCH VÝROKOV.
1. Rozhodnite o pravdivosti:
a) Číslo 121 je druhou mocninou prirodzeného čísla.
b) Existuje aspoň jedno párne prvočíslo.
c) Riešením rovnice (x – 3)2 = (x+2)2 + 1 je číslo x1, pre ktoré platí, že x1 ≥ 0,4.
d)
e) 3/36 4/36
f)
2. Určte negáciu:
a) Číslo 9102 je deliteľné dvomi a tromi.
b) Nik nefajčí.
c) Každý deň je dôvod k radosti.
d) Rovnici nevyhovuje žiadne prirodzené číslo.
3. Daným výrokom priraďte pravdivostnú hodnotu:
a) Pre objem V a plášť Q každého rotačného kužeľa platí:
b) Pre každé prirodzené číslo x = 2n(2n+1)(2n+2), kde nN platí, 4 / x alebo 5 / x.
c) Pre trojuholník, v ktorom a = 5 jednotiek dĺžky, b = 4 j. dĺžku, = 60° platí pre obsah trojuholníka j. dĺžky2.
4. Overte nasledujúce tvrdenia:
a) Rovnica x3 – 3x2 – x + 3 = 0 má tri celočíselné riešenia.
b) Výška pravouhlého trojuholníka v = 4 cm delí preponu na 2 úseky c1 = 2 cm, c2 = 7,5 cm.
c) Postupnosť je rastúca.
5. Určte negáciu:
a) Nikto nie je doma
b) nN; n2 < 0
c) Všetky násobky čísla 7 sú aj násobkami čísla 5.
d) Práve traja žiaci sú chorí.
e) (43 = 25) (4 > 22)
6. Určte pravdivostnú hodnotu a negáciu výrokov:
a)
b) 6 / 231 9 / 231
c) x R; |5 – x| < 0
d) Definičným oborom funkcie y = log |x – 5| sú všetky reálne čísla.
7. Určte pravdivostnú hodnotu:
a) Postupnosť je rastúca a konvergentná.
b) Rovnica 2x – 3y = 0 je asymptota hyperboly 4y2 – 9x2 = 36.
c) Funkcia y = |2x – 3| má deriváciu v každom bode definičného oboru.
d) Funkcia y = x2 – 2 |x| + 1 je párna.
8. Zistite, či formula je tautológia:
( A B ) ( A B )
9. Určte obmeny viet a ich negácie:
a) n N; 5 / n 5 / n2
b) n N; ( 3 / n 2 / n ) 6 / n
c) Ak ľubovoľná postupnosť má limitu, tak je ohraničená.
1B – EXPONENCIÁLNE A LOGARITMICKÉ ROVNICE
Riešte v R:
1. log 2 (x + 14) + log2 (x + 2) = 6
2. log16 x + log4 x + log2 x = 7
3. 4. 5. 6. 7.3x+1 – 5x+2 = 3x+4 – 5x+3
7. 4x – 2 – 17.2x – 4 + 1 = 0
8. 9. Riešte v R sústavu:
10. 11. logx 4 – log2 y = 0
x2 – 5y2 + 4 = 0
12. log2(4.3x – 6) – log2 (9x – 6) = 1
2A – MNOŽINY A OPERÁCIE S MNOŽINAMI
1. Dané sú množiny A = {xR; 1 (x – 5)2 < 4}, B = {xN; 2 4}. Určte A∩B.
2. Určte definičný obor funkcie:
3.
Množiny A, B, C, D znázornite graficky na číselnej osi a určte A ∩ C, B U D.
A = {xR; x < 2 x 8}
B = {xR; x2 1}
C = {xR; = x}
D = {xR; | x + 1 | > 1}
4. Určte A ∩ B, A U B ak:
a) A = ( – 2; 1>
b) B = R+
c) A = (xR; | x | 2}
d) B = {xR, x2 – 2x – 8 < 0}
5. Určte definičný obor funkcie
6. Načrtnite graf karteziánskeho súčinu množín A, B ak:
A = { xR, 0}
B = { yR, | y – 3 | = 1 }
7. Určte graficky A ∩ B, ak:
A = {[x, y]R2; x2 + y2 – 4x 0}
B = {[x, y]R2; y2 – x – 1 0}
8. Zo sto študentov sa učilo 30 nemčinu, 28 španielčinu, 42 francúzštinu, 8 španielčinu a nemčinu, 10 španielčinu a francúzštinu, 5 nemčinu a francúzštinu, 3 všetky jazyky.
Koľko študentov neštudovalo nijaký z uvedených predmetov?
9. Zo 129 študentov prvého ročníka internátnej školy chodí pravidelne do jedálne na obed alebo večeru 116 študentov, 62 študentov nechodí na obed alebo nechodí na večeru. Pri-tom na obedy ich chodí o 47 viac ako na večeru. Koľko z nich chodí na obedy aj večere, koľko len na obedy, koľko len na večere?
2B – KUŽEĽOSEČKY. URČENIE ZÁKLADNÝCH PARAMETROV, ZAKRESLENIE V SÚRADNICOVEJ SÚSTAVE, APLIKÁCIE PRI NAČRTNUTÍ GRAFOV ZLOŽENÝCH FUNKCIÍ.
1. Dokážte, že rovnica 9x2 – 4y2 – 18x – 8y – 31 = 0 je rovnica hyperboly. Načrtnite ju. Je vzdialenosť ohnísk jednotiek dĺžky?
2. Určte ohnisko, vrchol a riadiacu priamku paraboly x2 + 9y + 6x – 9 = 0.
3. Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi A[ – 1, 3], B[0, 2], C[1, – 1]. Zistite jej stred a polomer.
4. Určte stred a polomer guľovej plochy danej rovnicou x2 + y2 + e2 – 4x + 6y – 13 = 0.
5. Určte definičný obor, graf a obor hodnôt funkcie:
6. Daná je funkcia. Určte jej graf, definičný obor a obor hodnôt.
7. Určte graf funkcie a napíšte rovnicu dotyčnice v jeho bode .
8. Pre ktorú aR je rovnica vyjadrením kružnice?
x2 + y2 – 2ax + 6y + 5a + 5 = 0
9. Určte definičnú obor a načrtnite v súradnicovej sústave graf funkcie:
Je táto funkcia ohraničená?
10. Určte množinu všetkých bodov roviny, ktorých pomer vzdialeností od bodov A[0, 0], B[4, 0] je 1:3.
3A – REÁLNA FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ. DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT, VLASTNOSTI FUNKCIÍ.
1. Zistite, či funkcia je párna. Určte jej obor hodnôt.
2. Daná je funkcia. Určte jej definičný obor a zistite, či číslo 1 je funkčná hodnota.
3. Určte definičný obor funkcie .
4. Určte graf funkcie a popíšte vlastnosti funkcie.
5. Dané sú funkcie , g: y = 17.22x. Určte množinu tých xR, pre ktoré platí f(x) = g(x).
6. Určte D(f) a zistite, pre ktoré xR je f(x) 0 ak:
7.
Daná je funkcia. Určte jej definičný obor a zistite, pre ktoré reálne čísla nadobúda kladné hodnoty.
8. Určte definičný obor, graf a popíšte vlastnosti funkcie. 9. Určte definičný obor funkcie .
10. Určte definičný obor, graf a popíšte vlastnosti funkcie:
3B – RADY. VYUŽITIE NEKONEČNÉHO GEOMETRICKÉHO RADU PRI RIEŠENÍ ÚLOH.
1. Určte podmienku konvergencie a zistite pre ktoré xR platí rovnosť:
(x – 1) + (x – 1)2 + (x – 1)+...+(x – 1)n = 1
2. Riešte v R rovnicu
3. Riešte v R rovnicu
4. Zistite , či rovnici vyhovuje prirodzené číslo:
a)
b)
5. Zapíšte periodické čísla v tvare zlomku
,
6. Zistite, pre ktoré čísla x možno určiť súčet radu a určte:
sin2 x + cos2 x + sin4 x + cos4 x + sin6 x + cos2 x + ...
7. Menší koreň rovnice 2x2 – 5x+2 = 0 sa rovná prvému číslu nekonečného konvergentného geometrického radu, väčší koreň sa rovná jeho súčtu. Určte kvocient radu.
8. Daný je štvorec so stranou a. Spojnice stredov jeho strán utvoria opäť štvorec atď. až do nekonečna. Vypočítajte k akej hranici sa blíži súčet obvodov a k akej hranici súčet obsa-hov týchto štvorcov.
9. Riešte v R rovnicu
4A – POLYNOMICKÁ FUNKCIA. POLYNÓM, POLYNOMICKÁ ROVNICA, PO-LYNOMICKÁ FUNKCIA I. A II. STUPŇA.
1. Nájdite všetky kvadratické funkcie s definičným oborom R, pre ktoré platí: f(2) = 1 f( – 2) = 9 f(0) = 1.
2. Určte rovnicu tej kvadratickej funkcie s definičným oborom R, kde cR y = x2+6x+c, ktorej graf prechádza bodom Q o súradniciach [5; 5]. Aké sú priesečníky so súradnicový-mi osami?
3. Charakterizujte parametrické systémy, kde a, bR.
a) y = ax+1
b) y = – x+b
4. Určte graf funkcie a popíšte vlastnosti:
5. Daná je kvadratická funkcia y = ax2+bx+c, kde a0 a, b, cR. Odvoďte vzťah pre sú-radnice vrcholu paraboly, ktorá je grafom danej funkcie. Určte obor hodnôt danej funkcie.
6. Štvorce ABCD s rozmermi 20 x 20 má stred v počiatku súradnicovej sústavy a strany rov-nobežné s osami x, y. Akú rovnicu má parabola prechádzajúca bodmi C, D s vrcholom v strede strany AB?
7. Určte graf funkcie .
8. Určte graf funkcie .
9. Kvadratickú funkciu y = 3x2+2px+p premennej x nadobúda pre x = 2 hodnotu y = – 3. Určte jej obor hodnôt.
4B – STEREOMETRIA. VZÁJOMNÁ POLOHA ZÁKLADNÝCH GEOMETRICKÝCH ÚTVAROV, URČOVANIE PRIENIKOV, REZY ÚTVAROV ROVINOU, PRIENIK PRIAMKY S POVRCHOM KOCKY.
1.
Určte rez kocky ABCDEFGH so stranou a = 5cm rovinou , ak M je stred hrany EF, N tak, že |DC| : |CN| = 5:1, P za bodom B, |FB| = 7 cm.
2. Rovina rezu KLM prechádza stredmi hrán BF, EF, FG kocky ABCDEFGH. Určte pomery objemov geometrických útvarov rozrezanej kocky.
3. Dokážte, že uhlopriečny rez AA'CC' kocky ABCDA'B'C'D' je obdĺžnik. Určte uhol uhlo-priečok.
4. Kocke je opísaná guľa s polomerom r. Vypočítajte povrch a objem kocky.
5. Za aký čas sa naplní nádrž tvaru kvádra, ak sú jej rozmery a = 8 m, b = 5 m, c = m, ak priteká do nej každú minútu 50 l vody.
6. V kocke ABCDA'B'C'D' je vedená hranou CC', ktorej dĺžka je a rovina tak, že rozdelí kocku na dva kolmé hranoly (štvorboký a trojboký), ktorých objemy sú v pomere 3:2. V akom pomere je rovinou rozdelená hrana AB?
7. Stan tvaru ihlana má podstatu drevený štvorec, ktorého hrana má dĺžku 2 m, výška stranu je 1,8 m. Koľko m2 plátna treba na jeho zhotovenie, ak 5% povrchu sa počíta na zošitie.
8. Obsah podstavy rotačného kužeľa sa má k plášťu ako 3:5. Jeho telesová výška je 4 cm. Vypočítajte povrch a objem kužeľa.
9. Vedro má tvar zrezaného rotačného kužeľa s priemermi podstáv d1 = 18 cm, d2 = 36 cm a výška vedra je 34 cm. Koľko litrov vody sa približne do vedra zmestí?
5A – MOCNINOVÁ FUNKCIA, NEPRIAMA ÚMERNOSŤ, LINEÁRNA LOMENÁ FUNKCIA.
1. Určte súradnice stredu a rovnice asymptot hyperboly, ktorá je grafom funkcie .
2. Určte graf funkcie .
3. Riešte graficky nerovnicu x3 .
4. Načrtnite grafy funkcií , a určte ich vlastnosti.
5. Načrtnite graf funkcie a vypočítajte obsah obrazca ohraničeného krivkou y = f(x), osou x v intervale <4; 6>.
6. Riešte graficky rovnicu x4 = x3 a nerovnicu x4 > x3.
7. Určte graf funkcie a napíšte rovnicu dotyčnice grafu v priesečníku s osou x.
8. Určte graf funkcie zistite, či 1 je funkčná hodnota.
9. Určte obsah obrazca, ktorý je ohraničený grafom funkcií f: y = x3, g: y = x.
5B – POČÍTANIE S KOMPLEXNÝMI ČÍSLAMI. VZŤAHY MEDZI KOMPLEXNÝMI ČÍSLAMI, ZÁKLADNÉ OPERÁCIE V C, BINOMICKÁ A MOIVROVA VETA.
1. Ak a = – 1+3i, b = – 2+i, určte , .
2. Pre aké zC platí rovnosť:
3. 4. Určte modul ak .
5. Prepíšte do goniometrického tvaru komplexné číslo .
6. Určte komplexnú odmocninu
7. Ak c = – 1+i, , určte c.d, c8, .
8. Využitím binomickej a Moivrovej vety určte sin 3x v závislosti na sin x, cos 3x v závis-losti na cos x.
9. Určte (i – 1)8.
10. Prepíšte do goniometrického tvaru a určte b50 + b52.
11. Komplexné čísla , prepíšte do goniometrického tva-ru a určte a.b, .
6A – EXPONENCIÁLNA FUNKCIA.
VLASTNOSTI EXPONENCIÁLNYCH FUNKCIÍ, MOCNINY S REÁLNYM EXPONENTOM.
1. Pre ktoré aR je funkcia rastúca?
2. Pre ktoré aR je zápis exponenciálna funkcia?
3. Určte definičný obor funkcie
4. Určte graf funkcie
a) b)
5. Pre ktoré aR platí vzťah
a) b)
6. Aký je vzťah medzi číslami m, n ak platí nerovnosť
a) b)
7. Upravte
8. Porovnajte dané čísla s číslom 1:
9. Upravte na mocninu so základom 2:
10. Určte inverznú funkciu k f: y = 2x – 1
6B – ARITMETICKÁ A GEOMETRICKÁ POSTUPNOSŤ, POUŽITIE PRI RIEŠENÍ ÚLOH.
1. Povrch kvádra je 78 cm2, súčet rozmerov 13 cm. Určte objem, ak rozmery tvoria 3 za se-bou idúce členy geometrickej postupnosti.
2. Rozmery kvádra a, b, c tvoria 3 po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Súčet dĺžok všetkých hrán je 96 cm. Povrch je 334 cm2. Určte objem kvádra.
3. Riešte v R rovnicu:
52.54.56. .. .52x = 0,04 – 28
4. Pre aké xR platí rovnosť
1+a+a2+a3+...+ax – 1 = (1+a)(1+a2) (1+a4) (1+a8), kde a je reálny parameter.
5. Pôvodná cena stroja bola 40 000 Sk. Akú cenu bude mať stroj po 20 rokoch, ak sa každo-ročne odpisuje amortizácia 20%.
6. O koľko percent ročne treba počas 10 rokov zvyšovať výrobu, aby sa o 10 rokov pri kon-štantnom percentuálnom prírastku zvýšila dvojnásobne?
7. Akú postupnosť tvoria logaritmy členov geometrickej postupnosti , kde a > 0, q > 0 ?
8. V divadle je v prvom rade 24 sedadiel a v poslednom rade je 50 sedadiel, pričom každý nasledujúci rad má o 2 sedadlá viac ako rad predchádzajúci. Koľko sedadiel je v divadle?
9. Určte súčet všetkých navzájom rôznych prirodzených čísel vyhovujúcich nerovnici
10. Strany trojuholníka a, b, c tvoria (v tomto poradí) 3 za sebou idúce členy geometrickej postupnosti. Aké sú veľké, ak obvod trojuholníka je 42 a b = 8 ?
7A – LOGARITMICKÁ FUNKCIA. VLASTNOSTI LOGARITMICKEJ FUNKCIE, VETY PRE POČÍTANIE S LOGARITMAMI, DEKADICKÝ A PRIRODZENÝ LOGARITMUS.
1. Určte graf funkcie y = log2 (x – 3), popíšte vlastnosti.
2. Riešte v R nerovnicu .
3. Určte definičný obor funkcie
4. 5. Určte podmienky a zistite pre ktoré xR platí, že logx (6 – x) = 2
6. Pre ktoré hodnoty parametra aR je funkcia klesajúca.
7. Daná je funkcia. Určte inverznú funkciu a zistite, či 2 je funkčná hodnota.
8. Pre aké aR platí:
a) loga 7 > loga 9
b) loga 0,3 loga 5
9. Logaritmujte výraz a určte podmienky:
10.
Určte definičný obor a zistite pre aké aR je funkcia klesajúca.
7B – KOMBINAČNÉ ČÍSLA – ROVNICE A NEROVNICE S KOMBINAČNÝMI ČÍSLAMI, BINOMICKÁ VETA.
1. Ak viete, že , , určte .
2. Dokážte, že pre nN platí:
3. Riešte rovnicu pre xN0:
4. Riešte v N0:
5. Riešte v N nerovnicu:
6. Určte číslo xR tak, aby štvrtý člen binomického rozvoja výrazu , kde x0, sa rovnal číslu 14.
7. Ktorý člen binomického rozvoja výrazy x0, obsahuje x7 ?
8. Určte člen binomického rozvoja , ktorý neobsahuje x.
9. Určte .
10. Určte siedmy člen rozvoja. Existuje absolútny člen rozvoja ?
8A – GONIOMETRICKÉ FUNKCIE ORIENTOVANÉHO UHLA. DEFINÍCIA FUNKCIÍ SÍNUS, KOSÍNUS, TANGENS, KOTANGENS, VLASTNOSTI, GRAFY.
1. Nájdite čísla a, bR tak, aby graf funkcie f: y = a sin x + b prechádzal bodmi [0; 1], a načrtnite graf.
2. Určte hodnotu výrazu
3. Určte definičný obor funkcie .
4. Pre ktoré hodnoty argumentu x platí f(x) = 0, ak .
5. Určte počet koreňov rovnice v intervale <0; 2).
6. Overte pravdivosť výroku:
Ak a , potom hodnota 2 cos x je z intervalu <0; 6>.
7. Koľko riešení má rovnica (sin x + cos x)2 = 0 v intervale ( – ; 2) ?
8. Načrtnite graf funkcie .
9. Určte cos x, sin x, cotg x ak a x .
10. Určte cos x, sin x, cotg x ak sin x = , x .
8B – DÔKAZY V MATEMATIKE. PRIAMY DÔKAZ, NEPRIAMY DÔKAZ, NEPRIAMY DÔKAZ SPOROM, MATEMATICKÁ INDUKCIA.
1. Dokážte Moivrovu vetu matematickou indukciou.
2. Dokáže, že nN; 3 nedelí (n2 – 1) 3 / n.
3. S využitím podobnosti pravouhlých trojuholníkov dokážte Euklidove vety.
4. Dokážte, že je celé číslo pre každé nN.
5. Dokážte platnosť vzťahov an = a1 + (n – 1)d, kde a1 je prvý člen aritmetickej postupnosti, d je diferencia; an = a1.qn – 1, kde a1 je prvý člen geometrickej postupnosti, q je kvocient, pre výpočet n – tých členov týchto postupností ak nN.
6. Dokážte, že nN; 3 / (n3 + 11n).
7. Dokážte nepriamo, že body A[3; 5; 1], B[ – 7; – 1; 3], C[1; 2; 5] určujú trojuholník ABC.
8. V aritmetickej postupnosti dokážte, že platia vzťahy:
an = a1 + (n – 1)d;
9. Odvoďte vzťah pre súčet konvergentného geometrického radu za predpokladu, že postup-nosť súčtov geometrických postupností je konvergentná.
10. Dokážte priamo, že nN; 5 / n 5 / n2. Vytvorte k tejto vete obmenu a negáciu.
9A – POSTUPNOSTI A RADY. VLASTNOSTI POSTUPNOSTI, KONVERGENTNÁ POSTUPNOSŤ, PODMIENKA KONVERGENCIE GEOMETRICKÉHO RADU.
1.
Od ktorého člena počnúc platí pre postupnosť , že |an| < 10 – 3 ? Je postupnosť ohraničená?
2. Postupnosť je daná rekurentne , pričom hodnota prvého člena postupnosti udáva prirodzené číslo vyhovujúce nerovnici. Určte prvých 5 členov postupnosti.
3. Je daná postupnosť. Určte množiny hodnôt n, pre ktoré je daná postupnosť rastúca resp. klesajúca. Je to monotónna postupnosť ?
4. Zistite, či postupnosť je ohraničená a rastúca.
5. Zistite, pre ktoré čísla x možno určiť súčet radu a určte tento súčet ak:
(3x – 4)+ (3x – 4)2+(3x – 4)3+(3x – 4)4+...
6. V ktorej aritmetickej postupnosti s5 = s6 = 60?
7. Upravte:
8. Určte dĺžku špirály, ktorá sa skladá z polkružníc tak, že prvá má polomer r a každá nasle-dujúca má polomer rovný predchádzajúceho polomeru.
9. Medzi čísla a vložte 3 čísla tak, aby s danými číslami tvorili 5 členov aritme-tickej postupnosti. Vypíšte členy tejto postupnosti.
10. Určte limitu postupnosti. Je postupnosť rastúca a ohraničená?
9B – RIEŠENIE VŠEOBECNÉHO TROJUHOLNÍKA. VÝPOČTY OBSAHOV A OBVODOV, URČITÝ INTEGRÁL.
1. Z veže vysokej 20 m a vzdialenej od rieky 30 m sa šírka rieky javí pod uhlom 15°30'. Aká široká je rieka?
2. Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ak |AB| = 20 cm, veľkosť uhla BAC je 45° a veľ-kosť uhla ACB je 60°.
3. Určte obsah trojuholníka ABC ak jedna z jeho strán má dĺžku 10 cm a uhly k nej priľahlé majú veľkosť 30° a 45°.
4. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C sú dané veľkosti ťažníc ta = 5, tb =. Vypočítajte veľkosti strán trojuholníka ABC a polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku.
5. Trojuholník ABC má vrcholy A[1; – 2], B[2; 3], Cp, pričom p: 2x + y – 2 = 0. Obsah trojuholníka je 8. Určte súradnice bodu C.
6. Trojuholník je ohraničený grafom funkcie f: y = x, osou x a priamkou A[2; 2], B[0; 3]. Určte jeho obsah a obvod.
7. Určte obsah trojuholníka ohraničeného krivkami y = x, 5x – 3y – 10 = 0 a osou x.
8. Vypočítajte veľkosti uhlopriečok v rovnobežníku ABCD, ak |AB| = 35, |BC| = 16, veľkosť uhla ABC = 65°.
9. Vypočítajte veľkosti najväčšieho vnútorného uhla v trojuholníku ABC, ktorého dĺžky strán sú 2C, C, 3C, kde CR+.
10. Vypočítajte obvod a obsah rovnobežníka, ak sú dané veľkosti jeho uhlopriečok e = 12 cm, f = 16 cm a ich odchýlka je 60°.
10A – ARITMETICKÁ A GEOMETRICKÁ POSTUPNOSŤ
1. Rozmery kvádra tvoria tri za sebou idúce členy aritmetickej postupnosti. Určte ich veľ-kosť, ak ich súčet je 24 cm a objem kvádra je 312 cm3.
2.
Koľko členov aritmetickej postupnosti v ktorej a1 = 2, d = 3 musíme najmenej sčítať, aby súčet presiahol 2000?
3. Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti je sn = 4n2 – 3n. Určte jej n – tý člen.
4. Určte sn, an v aritmetickej postupnosti, pre ktorú platí: a3 + a7 = 38, a5 + a10 = 50.
5. Medzi korene rovnice x2 – 9x + 8 = 0 vložte dve čísla tak, aby vznikli štyri za sebou idúce členy geometrickej postupnosti. Určte ich.
6. Určte také číslo, ktoré postupne zväčšené o 7, 23, 71 dáva tri za sebou idúce členy geo-metrickej postupnosti.
7. V geometrickej postupnosti štyroch členov je súčet krajných dvoch členov 195 a súčet vnútorných dvoch členov 60. Určte túto postupnosť.
8. Akú postupnosť tvoria logaritmy členov geometrickej postupnosti s prvým členom a1>0 a s kvocientom q>0?
9. Zistite, či postupnosť je aritmetická alebo geometrická. Rozhodnite o jej mo-notónnosti.
10. Strany trojuholníka a, b, c, tvoria tri po sebe idúce členy geometrickej postupnosti. Určte obsah trojuholníka, ak jeho obvod je 42 cm a strana b = 8 cm.
10B – VEKTOR A OPERÁCIE S VEKTORMI. REÁLNY NÁSOBOK VEKTORA, SKALÁRNY A VEKTOROVÝ SÚČIN.
1. Zistite, či body A[2; 0; 5], B[3; – 1; 4], C[6, 2, – 5] určujú trojuholník ABC. Určte súrad-nice bodu D tak, aby ABCD bol rovnobežník s daným poradím vrcholov.
2. Dané sú vektory = (2; 3; – 1), = (1; – 2; 3), = (2; – 1; 1). Určte súradnice vektora , kde . = – 6.
3. Vložte súradnice bodov P, Q, ktoré delia úsečku AB, kde A[10; 2; 3], B[ – 5; – 4; 6] na 3 rovnaké časti.
4. Vypočítajte obsah a obvod trojuholníka KLM, kde K[4; 1; – 2], L[5; 3; 1], M[0, 0, 0].
5. Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV. Podstavná hrana a = 6 cm a výška tohto kolmého ihlana je. Zvoľte vhodne súradnicovú sústavu 0xyz s umiestnením tohto ihlana v nej a riešte úlohy:
a) vypočítajte |AV|
b) dokážte, že AV CV
c) určte veľkosť uhla bočných hrán AV, CV.
6. Nájdite vektor , ktorý je kolmý na vektor = (3; 4) a ktorého veľkosť je 15.
7. Vypočítajte veľkosti strán a vnútorných uhlov trojuholníka ABC, ak A[1; 2; – 3], B[ – 3; 3; – 2], C[ – 1; 1; – 1].
8. Dané sú vektory = (3; 2; – 1), = (1; – 4; 3). Nájdite všetky vektory, ktoré sú na dva dané vektory kolmé.
9. Dané sú vektory = (3; – 2), = ( – 1; 5). Určte vektor , pre ktorý platí. = 17,. = 3.
10. Umiestnite kocku ABCDEFGH v 0xy. Dokážte, že úsečky EC a HB sú na nich kolmé a určte uhol hrán AC, EF.
11A – LIMITA A SPOJITOSŤ FUNKCIE. VETY O LIMITÁCH, VÝPOČET LIMÍT.
1. Určte definičný obor a graf funkcie .
2. Určte .
3.
Existuje limita funkcie v bode x = – 1?
4. Určte limitu funkcie v jej nevlastnom bode.
5. Vypočítajte limity
a)
b)
6. Určte body nespojitosti funkcie f a zostrojte jej graf:
7. 8. Určte limity funkcie v nevlastných bodoch a v bodoch nespojitosti:
9. 10. Určte .
11. Určte .
12. Vypočítajte .
11B – IRACIONÁLNE ROVNICE A NEROVNICE
1. Riešte v R rovnicu .
2. Ktoré prirodzené číslo je riešením rovnice ?
3. Zistite, či koreň rovnice je násobkom deviatich.
4. Overte tvrdenie
Korene rovnice sú opačné čísla.
5. Riešte v R rovnicu .
6. Riešte v R rovnicu
7. Riešte v R nerovnicu. Koľko prirodzených čísel vyhovuje nerovnici?
8. Koľko celých čísel je riešením nerovnice
9. Overte tvrdenie:
Súčet všetkých celých čísel, ktoré sú riešením nerovnice je 9.
10. Riešte rovnicu
a) v R
b) v N
12A – DERIVÁCIA FUNKCIE. DERIVÁCIA FUNKCIE V BODE, VETY PRE DE-RIVOVANIE FUNKCIE.
1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu f: y = 2x – x2 v priesečníkoch s osou x.
2. Teleso s hmotnosťou m = 10 kg sa pohybuje podľa zákona dráhy s = 1 + t + t2. Akú kine-tickú energiu bude mať na konci 5. sekundy?
3. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v T[8; yT].
4. Určte intervaly rastu a klesania funkcie .
5. Napíšte rovnicu dotyčnice krivky 9x2+y2 – 9x – 4y = 0 v jej bode T[1; yT].
6. Určte deriváciu funkcie f: y = ln (x2 – 1) a intervaly, na ktorých sú f aj f' definované.
7. Určte definičný obor funkcie a jej deriváciu na <0; >. Akú smernicu má dotyčnica ku grafu g v bode ?
8. Určte lokálne extrémy funkcie f: y = x3 – 12x.
9. Určte priebeh funkcie f: y = 2x2 – x4 a jej vlastnosti.
10. Aký je smerový uhol a uhol dotyčníc ku grafu funkcie f: y = sin x v bodoch x = 0 a x = .
12B – GRAFY FUNKCIÍ S ABSOLÚTNYMI HODNOTAMI.
1. Určte graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
2. Určte graf funkcie f: y = x |x – 4| a intervaly rastu a klesania.
3. Určte graficky definičný obor funkcie .
4. Určte graf funkcie f: y = |x + 1| – |x – 1| a zistite, či f(x) = 2.
5. Určte graf funkcie f: y = |log2 (x – 2) – 1| a rozhodnite o ohraničenosti funkcie.
6. Určte graf funkcie f: y = sin x + |sin x|.
7. Zostrojte graf funkcie g: y = |(x – 1)3 + 2|.
13A – DEFINÍCIA NEURČITÉHO INTEGRÁLU, ZAVEDENIE URČITÉHO IN-TEGRÁLU. URČOVANIE ZÁKLADNÝCH PRIMITÍVNYCH FUNKCIÍ. 1. Vypočítajte objem gule s polomerom r s využitím určitého integrálu.
2. Vypočítajte .
3. Určte krivku, ktorá prechádza bodom A[2; 3] a jej dotyčnica v ľubovoľnom bode má smernicu x + 1.
4.
Vypočítajte obsah obrazca ohraničeného krivkami y = x2, y = .
5. Určte definičný obor funkcie a primitívnu funkciu k tejto funkcii na definičnom obore.
6. Zavedením substitúcie určte .
7. Metódou per partes určte .
8. Zavedením substitúcie určte .
9. Určte krivku, ktorá má v každom bode svojho definičného oboru smernicu dotyčnice 12 – 3x2 a prechádza bodom A[3; 2].
10. Metódou per partes určte .
13B – RIEŠENIE ROVNÍC A NEROVNÍC, ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLÚTNOU HODNOTOU.
1. Zistite, či súčet prirodzených čísel vyhovujúcich nerovnici je rovný ôsmim.
2. Riešte v R nerovnicu |5 – 3x| + 2 < |x+2|.
3. Koľko celých čísel vyhovuje nerovnici |x+2| + |x – 2| 6.
4. Určte graficky počet riešení rovnice |2 sin 2x| = 1 na intervale ( – ; 3).
5. Určte definičný obor funkcie .
6. Riešte v R nerovnicu .
7. Určte definičný obor funkcie a zistite pre aké xR na-dobúda funkcia nezáporné hodnoty.
8. Riešte v R nerovnicu .
9. Určte všetky celé čísla x, pre ktoré platí:
a)
b)
10. Riešte v R nerovnicu 2|x|.5|x| < 0,1. (10|x – 1|)3.
14A – KOMBINATORIKA. KOMBINÁCIE, VARIÁCIE, PERMUTÁCIE.
1. Riešte v N nerovnicu .
2. Ak sa zväčší počet prvkov o 2, zväčší sa počet permutácií 12 – krát. Počet prvkov určuje číslo nN0, ktoré je prvočíslom. Overte tvrdenie.
3. Koľko existuje prirodzených čísel menších ako 2000, ktorých číslice sú navzájom rôzne ?
4. Ak sa počet prvkov zväčší o 2, zväčší sa počet variácií tretej triedy bez opakovania o 384. Určte počet prvkov.
5. Zo sady 32 kariet náhodne vyberieme 3 karty. Koľkými spôsobmi možno z nich vytiahnuť aspoň 2 esá?
6. Z koľkých prvkov možno vytvoriť 5040 variácií štvrtej triedy bez opakovania prvkov?
7. Na poličku treba rozostaviť vedľa seba 3 zelené, 2 červené a 2 žlté hrnčeky. Koľko rôz-nych spôsobov rozostavenia môže vzniknúť?
8. Koľký člen rozvoja výrazu neobsahuje x?
9. Koľko prirodzených čísel menších ako 10 000 možno vytvoriť z cifier 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ?
10. Koľko rôznych trojciferných prirodzených čísel s rôznymi ciframi môžeme utvoriť z číslic 0, 1, 2, 3, 4. Koľko je z nich nepárnych?
11. Určte počet všetkých šesťciferných prirodzených čísel, ktorých ciferný súčet je 4.
14B – VÝPOČTY OBJEMOV A POVRCHOV TELIES, POUŽITIE URČITÉHO IN-TEGRÁLU.
1. Tri olovené gule s polomermi r1 = 3 cm, r2 = 4 cm, r3 = 5 cm zliali do jednej gule. Vypo-čítajte jej polomer r, objem a povrch.
2.
Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana s podstavnou hranou dĺžky a, ak uhol bočnej steny s rovinou podstavy má veľkosť .
3. Určte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou obrazca ohraničeného osou x a krivkou y = 6x – x2 – 5 okolo osi x.
4. Kôš na odpadky má tvar pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana s hranami podstáv 30 cm, 40 cm a výškou 50 cm. Určte jeho objem a povrch.
5. Odvoďte vzorec pre výpočet objemu rotačného kužeľa s polomerom r>0, výškou v>0. (Využite rotáciu okolo osi x.)
6. Profil násypu vysokého 3m má tvar rovnoramenného lichobežníka, ktorého kratšia zá-kladňa je 2,6 m a bočné steny majú od vodorovnej roviny odchýlku 41°. Koľko m3 zeme obsahuje 1 meter násypu?
7. Rozmery kvádra sú v pomere 1: : a jeho telesová uhlopriečka má dĺžku 29 cm. Vypo-čítajte objem a povrch kvádra.
8. Určte povrch a objem pravidelného trojbokého ihlana, keď dĺžka podstavnej hrany je 3 cm a bočnej hrany 5 cm.
9. Určte rozmery parného valca tak, aby pri danom objeme boli tepelné straty čo najmenšie. Porovnajte výšku a polomer valca.
10. Priemer parabolického automobilového reflektora je 24 cm, hĺbka reflektora je 12 cm. Určte objem reflektora.
15A – KOMPLEXNÉ ČÍSLA. ALGEBRAICKÝ A GONIOMETRICKÝ TVAR KOMPLEXNÉHO ČÍSLA, OPERÁCIE S KOMPLEXNÝMI ČÍSLAMI.
1. Komplexné číslo a = prepíšte do algebraického a goniometrického tvaru.
2. Vyjadrite súčin a podiel komplexných čísel a = , b =. Vypočítajte vzdialenosť obrazov komplexných čísel a, v rovine komplexných čísel.
3. Vypočítajte .
4. Riešte v C rovnicu |z| + z = 2 – i.
5. Vypočítajte .
6. Riešte v C rovnicu z3+2z2+2z+1 = 0.
7. Určte v obore komplexných čísel.
8. Ak a = 2 – 3i, b = 4+2i, určte. Prepíšte číslo do goniometrického tvaru.
9. Riešte v C rovnicu 8x3 – 27 = 0 rozkladom na súčin.
10. Určte (2 – 3i)4.
15B – RIEŠENIE SÚSTAVY ROVNÍC A NEROVNÍC. GRAFICKÉ RIEŠENIE ROVNÍC A NEROVNÍC.
1. Riešte v R2 sústavu:
2. Riešte v R sústavu rovníc:
x+y+z = 4
x+2y+3z = 5
x2+y2+z2 = 14
3. Určte rovnicu, ktorou je určená kvadratická funkcia f s definičným obor R, ktorej graf prechádza bodom A[1; 2], B[ – 2; 5], C[3; 20].
4. Určte graficky množinu všetkých bodov pre súradnice ktorých platí:
x+2y = 8 2x – y8
5. Riešte graficky nerovnice
a) 2x<3 – x
b) x – 2x2
6. Riešte graficky rovnicu | |x+1| – 3| = 1.
7. Určte pre ktoré x, yR platí sústava nerovníc:
y0 y – x3 y< – x+5 x – 2y+40
8. Určte vzájomnú polohu priamky p a roviny ak:
p: x = – 1+2t, y = 3+4t, z = 3t; tR
: 3x – 6y+2z – 5 = 0
9.
Určte všetky [x; y]R2 pre ktoré platí:
x+y2 = 7 xy2 = 12
10. Riešte v R2:
2x.3y = 12 2y.3x = 18
16A – VEKTOR A OPERÁCIE S VEKTORMI. SKLADANIE VEKTOROV, SKALÁRNY A VEKTOROVÝ SÚČIN, LINEÁRNA KOMBINÁCIA VEKTOROV.
1. Dané sú body A[1; 1], B[2; – 1], C[3; 2].
2. Dokážte, že body A, B, C sú vrcholy trojuholníka.
3. Vypočítajte veľkosti strán trojuholníka
4. Určte veľkosti vnútorných uhlov v ABC.
5. Dané sú vektory = (2; 3; – 1), = (1; – 2; 3), = (2; – 1; 1). Určte súradnice vektora , kde . = – 6.
6. Dané sú vektory = (2; – 1; 5), = (3; 0; 2), = (4; 1; – 1), = (1; 5; 8). Rozhodnite, ktorý z vektorov , je lineárnou kombináciou vektorov , .
7. Určte súradnice bodov P, R, ktoré delia úsečku AB, ak A[ – 1; 3; 5], B[8; – 12; – 7] na 3 rovnaké časti. Aká je dĺžka úsečky AB?
8. Určte vzdialenosť bodu A[1; 1; 5] od priamky p ak:
p: x = 5 – y, y = 1+t; z = 3+t; tR.
9. Nech , pričom = (u1; u2), = (v1; v2) a | | = | |. Rozhodnite, či keď = 2 +3 , = – 3 +2 .
10. Nech = (2; – 1; 2); = (1; 3; 4), = (5; 1; – 3). Určte = 2 – 3 + ,. , .
11. Dané sú body A[3; – 20; 0], B[3; – 4; 0], C[3; 1; ].
a) Určte bod D tak, aby štvoruholník ABCD s daným poradím vrcholov bol rovnobežník.
b) Vypočítajte veľkosť uhla DAB.
16B – ZLOŽENÁ FUNKCIA. URČOVANIE DEFINIČNÝCH OBOROV FUNKCIÍ, GRAFY, DERIVÁCIA ZLOŽENEJ FUNKCIE.
1. Určte definičný obor funkcie a zistite pre xD(f) je f(x) >0.
2. Určte definičný obor funkcie a zistite pre aké xD(f) platí že f(x) = 0.
3. Určte definičný obor funkcie .
4. Určte definičný obor funkcie .
5. Určte definičný obor funkcie , jej graf a vlastnosti.
6. Daná je funkcia. Určte definičný obor funkcie, graf funkcie f2 a graf inverznej funkcie k tejto funkcii.
7. Daná je funkcia. Určte jej definičný obor a napíšte rovnicu dotyčnice jej krivky v bode T[2; y0].
8. Daná je funkcia. Určte jej definičný obor a graf. Napíšte dotyčnice ku grafu funkcie v bode T[6; y0].
9. Daná je funkcia f: y = log (tg x). Určte jej definičný obor a smernicu dotyčnice v bode x = .
10. Zistite, či funkcia f: y = sin2 x – x3 je nepárna a určte .
17A – ANALYTICKÉ VYJADRENIE PRIAMKY V ROVINE A PRIESTORE. ČASTI PRIAMKY, VZÁJOMNÁ POLOHA, UHOL DVOCH PRIAMOK.
1. Dané sú body A[3; – 4], B[2; 1]. Napíšte
a) parametrické vyjadrenie priamky
b) všeobecnú rovnicu priamky AB
c) smernicový tvar rovnice priamky AB
d) úsekový tvar rovnice priamky AB
2.
Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom M[ ] a je rovnobežná s priam-kou p: x+y+9 = 0. Aké je vzdialenosť priamok p, q.
3. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom P[3; – ] a zviera s osou x uhol 120°.
4. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A[3; 1], B[ – 1; 4] a vypočí-tajte dĺžku úsečky AB.
5. Dané sú body A[3; 5; – 1], B[2; 1; 3] napíšte rovnicu priamky AB, polpriamky AB, úseč-ky AB.
6. Určte vzájomnú polohu priamok ak A[3; 2; 1], B[4; 1; 0], C[ – 4; 5; 4], D[ – 1; – 2; – 1]. Aká je vzdialenosť stredov úsečiek AB, CD?
7. Určte vzájomnú polohu priamok p, q ak:
p: 6x – 5y + 25 = 0; q: x = – 5 + 5t, y = – 1+6t; tR. Aké úseky vytína priamku q na súradnicových osiach x, y?
8. Rozhodnite o vzájomnej polohe priamok p, q ktorých parametrické vyjadrenie je:
p: x = 3 – t; y = – 2+2t; z = 3t; tR
q: x = 2+s; y = 1 – s; z = 9+3s; sR
9. Vypočítajte obvod trojuholníka, ak rovnice jeho strán sú 7x – 4y – 1 = 0; x – 2y+7 = 0; 2x+y+4 = 0.
10. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorej smernice k = a prechádza priesečníkom priamok p: x – 2y+8 = 0; q: 3x+5y+2 = 0. Aké je uhol priamok p, q?
17B – URČOVANIE LOKÁLNYCH EXTRÉMOV FUNKCIÍ, INTERVALOV RASTU A KLESANIA, VYŠETROVANIE PRIEBEHU FUNKCIÍ.
1. Napíšte podmienky pre parameter a, b, c, d lineárnej lomenej funkcie a derivovaním tejto funkcie ukážte, že nemá lokálne extrémy.
2. Určte intervaly monotónnosti a lokálne extrémy funkcie f: y = x4 – 4x3+4x2
3. Vyšetrite priebeh funkcie a nakreslite jej graf.
4. Nájdite lokálne extrémy funkcie f: y = x+cos 2x v intervale (0; )
5. Nájdite valec, ktorý má pre daná povrch maximálny objem. Porovnajte výšku a polomer tohto valca.
6. Veľkosť dráhy, ktorú koná teleso, sa mení v závislosti od času podľa rovnice s = 2t3 – t2+1. V ktorom čase má teleso nulovú rýchlosť a kedy má nulové zrýchlenie?
7. Na priamku p: y = 3x+6 určte bod, pre ktorý je súčet druhých mocníc vzdialeností od bo-dov A[2; 5], B[3; 5] minimálnu.
8. Zo štvorcovej lepenky zo stranou a cm máme v rohoch vystrihnúť rovnako veľké štvorce a zo zvyšnej časti sa zahnutím získa škatuľka tvaru kvádra. Aké veľké budú strany vy-strihnutých štvorcov, aby bol objem najväčší?
9. Má funkcia lokálny extrém?
10. Vyšetrite priebeh funkcie a určte graf.
18A – ANALYTICKÉ VYJADRENIE ROVINY. PARAMETRICKÁ A VŠEOBECNÁ ROVNICA ROVINY, VZÁJOMNÁ POLOHA ROVÍN, UHOL ROVÍN.
1. Dané sú body A[1; 0; 2], B[0; 2; 3], C[4; 0; 0]. Napíšte analytické vyjadrenie roviny ABC
a) parametrické
b) všeobecné
2.
Určte vzájomnú polohu rovín : x – y+z+1 = 0, : x+y+3z – 3 = 0
Majú rovinu , spoločnú priesečnicu? Ak áno, napíšte jej analytické vyjadrenie.
3. Akú vzájomnú polohu majú roviny , ak:
: x – 2y – 2z – 6 = 0
: x = 1+2r+2s; y = 3 – 2s; z = – 2r+r+3s; [r, s]R2
4. Určte uhol roviny prechádzajúcej bodom R[2; 2; 2] kolmo na priamku AB, A[ – 2; 1; – 1], B[ – 3; – 1; 1] a roviny určenej parametricky:
: x = 3+r – 2z; y = 2 – r+2s; z = – 1 – 4r; [r; s]R2
5. Dané sú roviny : x – 2y – z+3 = 0; :x+y+2z – 5 = 0. Vypočítajte uhol týchto rovín a smerový vektor ich priesečnice.
6. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny určenej bodom M[3; 2; – 1] a priamkou p: x = 2 – t; y = 3+2t; z = – t; tR.
7. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi M[3; – 2; – 4]; N[7; 2; 1] a je rovnobežná s osou x.
8. Rozhodnite, či priamky p: x = 8 – 4t; y = 4+8t; z = – 12t; tR; q: x = 3+3s; y = 1 – 6s; z = – 2+9s; sR určujú rovinu a napíšte jej parametrické vyjadrenie.
9. Určujú priamky p: x = 3 – t; y = – 2+2y; z = 3t; tR; q: x = 2+s; y = 1 – s; z = 9+3s; sR rovinu? Napíšte jej všeobecnú rovnicu.
10. Napíšte parametrické vyjadrenie roviny danej bodmi A[ – 1; – 1; 0], B[1; 1; 2], C[2; 2; 3].
18B – VZŤAHY MEDZI GONIOMETRICKÝMI FUNKCIAMI
1. Zjednodušte
2. S využitím goniometrických vzorcov vyjadrite cos 3x v závislosti na cos x
3. Určte hodnoty sin x, tg x, cotg x ak cos x = x
4. Zjednodušte výraz a určte pre ktoré xR je definovaný:
5. Dokážte, že pre prípustné hodnoty premennej xR platí rovnosť:
6. Zjednodušte funkčný predpis funkcie a určte jej definičný obor.
7. S využitím goniometrických vzorcov vyjadrite sin 75°, cos 15°, (cos 15°+cos 45°)
8. Dokážte identitu a určte podmienky, pre ktoré platia úpravy.
9. Zjednodušte
10. Určte sin (x+y), cos (x+y) ak sin x = x a cos y = y
19A – VZÁJOMNÉ POLOHY PRIAMOK A ROVÍN. VZDIALENOSŤ DVOCH BODOV, BODU OD PRIAMKY A ROVINY, VZDIALENOSTI ROVNOBEŽNÝCH PRIAMOK A ROVÍN, UHLY PRIAMOK A ROVÍN.
1. Zistite vzájomnú polohu priamky p = , ak A[1; 3; 4], B[ – 1; 2; 5] a roviny : 2x+3y+z – 3 = 0
2. Určte veľkosť uhla priamky , kde P[1; 0; 2], Q[ – 2; – 2; 1] a roviny = , ak A[1; – 2; 1], B[0; 2; 3], C[ – 2; 3; 0].
3. Bodom Q[6; – 9; 12] veďte rovinu rovnobežnú s rovinou : x – 7y+3z – 19 = 0. Určte vzdialenosť týchto rovín.
4. Určte vzdialenosť bodu M[3; – 1; 4] od priamky AB, ak A[0; 2; 1], B[1; 3; 0].
5.
Na priamke x+2y – 5 = 0 nájdite bod, ktorý má od priamky 3x – 4y – 5 = 0 vzdialenosť v = 2.
6. Vypočítajte vzdialenosť bodu A od roviny = , ak K[3; 1; 4], L[3; 0; 2], M[5; 1; 0], A[ – 3; 3; – 4].
7. Vypočítajte dĺžku výšky vc v trojuholníku ABC, ak A[1; 3], B[ – 3; 0], C[4; – 2]. Akú dĺžku má ťažnica ta?
8. Daná je priamka p: x = 1+t, y = 2 – t, z = t; tR a rovina : x = 5 – r – 3s, y = 16+r – 3s, z = 3+4r; [r, s]R2. Určte uhol priamky p a roviny .
9. Daná je rovina : x – y+z+1 = 0; x+y+3z – 3 = 0. Vypočítajte uhol priamky p a roviny . Určte prienik priamky p a roviny .
10. Nájdite všeobecnú rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi A[1; – 1; 3], B[ – 2; – 13; 2] a je kolmá na rovinu : 2x – 3y+2z – 6 = 0.
19B – RIEŠENIE ROVNÍC A NEROVNÍC S PARAMETROM
1. Riešte v R rovnicu s reálnym parametrom b:
2. Riešte v R rovnicu s reálnym parametrom n:
3. Urobte úplnú diskusiu riešenia rovnice s reálnym parametrom m a neznámou x.
(m – 2)x2 – (3m – 6)x + 6m = 0
4. V rovnicu 2x – y+c = 0 určte všetky cR tak, aby uvažovaná priamka a kružnica x2+y2 = 4 mali práve 1 spoločný bod.
5. Určte všetky hodnoty parametra aR, pre ktoré má rovnica aspoň jeden zá-porný koreň.
6. Riešte v R nerovnicu s reálnym parametrom p:
px2+4>16x+p
7. Určte pre ktoré hodnoty parametra qR je priamka y = x+q sečnicou elipsy x2+2y2 = 6.
8. Riešte v R rovnicu s reálnym parametrom m a neznámou x: m2x = m(x+2) – 2
9. Riešte v R rovnicu , ak a je reálny parameter.
10. Pre koľko prirodzených čísel a má rovnica a(3x – 1) = 5(x+4) riešenie z intervalu <3; )?
20A – KRUŽNICA, KRUH, GUĽOVÁ PLOCHA. VZÁJOMNÁ POLOHA PRIAMKY A KRUŽNICE.
1. Úsečka AB, A[3; 1], B[0; 4] je priemerom kružnice. Určte rovnicu kružnice a priesečníky kružnice so súradnicovými osami.
2. Určte stred a polomer kružnice x2+y2 – 6x – 10y+29 = 0.
3. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza stredmi kružníc x2+y2 – 4 – 12 = 0; x2+y2 – 6y = 0.
4. Napíšte rovnicu kružnice, ak je daný jej stred S[1; 2] a rovnica priamky 8x+15y+13 = 0, ktorej sa kružnica dotýka.
5. Akú dlhú tetivu vytína priamka 2x – y – 6 = 0 na kružnici x2+y2 – 4x – 5y – 1 = 0?
6. Napíšte rovnicu dotyčnice t ku kružnici x2+y2 = 25 rovnobežnú s priamkou p: 3x+4y – 1 = 0.
7. Určte stred a polomer kružnice x2+y2 – 6x+10y+14 = 0 a napíšte rovnicu dotyčnice danej kružnice v jej bode T[x0; – 3].
8. Určte stred a polomer guľovej plochy x2+y2+z2 – 12x+40y – 3z – 4 = 0.
9.
Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi M[5; 3], N[6; 2] a jej stred leží na priamke p: 3x – 4y – 3 = 0.
10. Pre akú hodnotu parametra d má guľová plocha (x – 2)2+y2+z2+d = 0 s priamkou p: x = 1+t; y = t – 1; z = t; tR práve jeden spoločný bod?
11. Napíšte rovnicu guľovej plochy, ktorá má stred S[4; 3; – 1] a dotýka sa roviny 2x+6y+3z+5 = 0. Zistite, či bod A[0; 2; 1] je bodom guľovej plochy. Má guľová plocha priesečníky s osou x?
20B – RIEŠENIE ROVNÍC VYŠŠÍCH STUPŇOV V R A C. BINOMICKÉ A RE-CIPROČNÉ ROVNICE.
1. V obore komplexných čísel riešte rovnicu 6x4 – 5x3 – 38x2 – 5x+6 = 0.
2. Určte obsah obrazca, ktorý tvoria obrazy koreňov rovnice z4 = – 16 v Gaussovej rovine komplexných čísel.
3. Riešte v C rovnicu x6 – 64 = 0
a) rozkladom
b) ako binomickú
4. Riešte v C recipročnú rovnicu 4x5+12x4+11x3+11x2+12x+4 = 0.
5. Riešte v R rovnicu (x2+5x+2)2 = 4.
6. Riešte v R rovnicu sin4x+2cos2x = 1
7. Obrazy z1, z2 koreňov binomickej rovnice z6 – 1 = 0 určujú v Gaussovej rovine komplex-ných čísel priamku p. Vypočítajte vzdialenosť obrazu koreňa z4 od priamky p.
8. Riešte v R rovnicu x3 – 2x2 – 25x+50 = 0 a napíšte ju ako súčin koreňových činiteľov.
9. Určte definičný obor funkcie .
10. Rozložte na koreňové činitele rovnicu x5+6x4+12x3+10x2+3x = 0.
21A – PARABOLA. ANALYTICKÉ VYJADRENIE, VZÁJOMNÁ POLOHA PRIAMKY A PARABOLY.
1. Napíšte analytické vyjadrenie paraboly, ktorá má dané ohnisko F[ – 3; 8] a riadiacu priamku d: y+4 = 0.
2. Určte súradnice ohniska, vrcholu a rovnicu riadiacej priamky danej paraboly y2+8y+3x – 6 = 0.
3. Určte rovnicu paraboly, ktorá má vrchol V[6; – 2], prechádza bodom B[3; 5] a má os rov-nobežnú s osou y.
4. Akú dlhú tetivu vytína parabola y2 – 8x = 0 na priamke x – y – 2 = 0? Určte parameter paraboly.
5. Daná je parabola y2 = 4x a bod M[0; 5]. Určte rovnicu všetkých priamok, ktoré majú s parabolou práve jeden spoločný bod a prechádzajú bodom M.
6. Určte súradnice ohniska paraboly x2+4x – 4y+8 = 0 a zistite polohu bodov A[1; 2], B[ – 1; 5], C[ – 2; 1] vzhľadom na danú parabolu a jej vnútornú a vonkajšiu oblasť.
7. Daná je kvadratická funkcia f: y = 4y+x+7 = 0 v jej bode T[x0; – 2].
8. Daná je parabola x2+2x – y – 3 = 0. Určte rovnice všetkých dotyčníc paraboly rovnobež-ných s priamkou 2x – y+7 = 0.
9. Určte veľkosť uhla pod ktorým vidieť z daného bodu M[0; – 10] parabolu x2 – 10y = 0.
21B – ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZOV. KRÁTENIE ZLOMKOV, OPERÁCIE SO ZLOMKAMI, POČÍTANIE S MOCNINAMI A ODMOCNINAMI, KOMBINAČNÉ ČÍSLA.
1. Upravte a určte podmienky:
.
2.
Zostrojte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú:
x1 = x2 =
3. Upravte výrazy a určte podmienky:
a) b)
4. Zjednodušte výrazy
a) b)
5. Upravte:
a) b)
6. Upravte:
a) b)
7. Riešte v R nerovnicu .
8. Upravte výraz:
9. Zjednodušte výraz a určte definičný obor výrazu:
10. Upravte a určte podmienky:
11. Určte 5. člen výrazu .
22A – ELIPSA. ANALYTICKÉ VYJADRENIE, VZÁJOMNÁ POLOHA PRIAMKY A ELIPSY.
1. Načrtnite graf funkcie a určte jej vlastnosti.
2. Elipsa, ktorej osi sú rovnobežné so súradnicovými osami má stred S[1; 2]. Napíšte jej a-nalytické vyjadrenie, ak hlavná poloos má dĺžku 13 a vzdialenosť ohnísk je 10.
3. Napíšte analytické vyjadrenie elipsy, ktorá má ohniská F1 = [ – 3; 1], F2[5; 1] a hlavnú poloos o dĺžke 5.
4. Určte súradnice stredu, ohnísk, hlavných a vedľajších vrcholov elipsy 9x2+25y2 – 54x – 100y – 44 = 0.
5. Overte, že rovnica x2+4y2+4x – 8y – 32 = 0 je analytickým vyjadrením elipsy a zistite, pre ktoré reálne číslo a je priamka 3x+2y+a = 0 dotyčnicou elipsy.
6. Napíšte rovnicu elipsy, ktorá má vrcholy [ – 3; 0], [3; 0] a vzdialenosť ohnísk je 8. Osi elipsi sú rovnobežné so súradnicovými osami.
7. Zistite, či existuje elipsa, ktorá má osi rovnobežné so súradnicovými osami, stred S[3; 1] a prechádza bodmi A[ – 2; 0], B[0; 2].
8. Napíšte rovnicu dotyčnice elipsy x2+4y2 = 20 v jej dotykovom bode T[2; y0] a určte jej odchýlku s osou x.
9. Daná je elipsa 3x2+6y2 = 18 a bod M[4; – 1].
a) Dokážte, že M je bodom vonkajšej oblasti elipsy.
b) Napíšte rovnicu dotyčnice elipsy prechádzajúcej bodom M.
10. Charakterizujte kužeľosečku x2+4y2 = 20. Vypočítajte veľkosť strany štvorca opísaného do danej kužeľosečky.
22B – FUNKCIA A FUNKCIA K NEJ INVERZNÁ. PREDPIS FUNKCIÍ, GRAFY, DEFINIČNÉ OBORY A OBORY HODNÔT.
1. Inverzná funkcia k funkcii f: y = 10x – 2 – 1 je funkcia f – 1:
A: y = 2 – log x B: y = x – 2 log (x – 1) C: y = 2+log(x+2)
D: y = 2 – log (x+1) E: žiadna z odpovedí A – D nie je správna.
2. Dané sú funkcie f:y = 2x4; g: y = 3x5. Určte ich definičné obory, obory hodnôt a rozhod-nite, ku ktorej z nich existuje inverzná funkcia. Určte jej funkčný predpis.
3. Určte graf funkcie f: y = 2 – 2x a rozhodnite, či existuje k nej inverzná funkcia. Určte funkčný predpis f – 1 a jej vlastnosti.
4. Inverzná funkcia k funkcii f: y = 3x3 je f – 1:
A: y = B: y = C: y = D: y = E: y = x .
5. Dané sú funkcie y = tg x; y = cos x. Určte ich definičné obory tak, aby k nim boli defino-vané inverzné funkcie. Určte ich funkčné predpisy.
6.
Načrtnite graf funkcie g: y = 2 – x2; x<0; ). Určte graf g – 1, D(g – 1), H(g – 1).
7. Načrtnite graf funkcie. Určte funkčný predpis f – 1, D(f – 1), H(f – 1).
8. Daná je funkcie f: y = 1+log (x+2). Určte k nej inverznú funkciu.
9. Načrtnite graf funkcie h: y = x2+4x+3 x<2; ). Určte funkčný predpis h – 1, D(h – 1), H(h – 1).
10. K funkcii určte inverznú funkciu.
23A – HYPERBOLA. ANALYTICKÉ VYJADRENIE, ASYMPTOTY, VZÁJOMNÁ POLOHA PRIAMKY A HYPERBOLY.
1. Hyperbola má hlavnú os na osi x, vedľajšiu os na osi y a prechádza bodmi M[4; ], N[3; ].
2. Nájdite rovnicu hyperboly, ktorá prechádza bodom M[9; ] a má asymptoty 2x+3y = 0, 2x – 3y = 0.
3. Vrcholmi hyperboly sú body A[2; – 3], B[8; – 3] a jej excentricita má dĺžku 5. Určte ana-lytické vyjadrenie tejto hyperboly a jej asymptôt.
4. Daná je hyperbola 4x2 – 9y2 = 36. Ktorá z nasledujúcich priamok má s danou hyperbolou práve 1 spoločný bod?
A: p:3x – 2y = 0 B: q:2x – 3y+3 = 0 C: z: .
5. Hyperbola má stred v počiatku súradnicového systému, osi rovnobežné s osami x, y a jed-no z jej ohnísk má súradnice [ ; 0]. Bod A[ ; 1] je bodom hyperboly.
6. Asymptoty hyperboly sa pretínajú v bode Q[2; 1] a ich smerové uhly sú 30° a 50°. Každá vetva hyperboly pretína os y. Určte analytické vyjadrenie tejto hyperboly, ak viete, že vzdialenosť vrcholov je .
7. Napíšte rovnicu hyperboly, ak sú dané obidve jej asymptoty y = 2x – 6; y = – 2x+10, hlavná os je rovnobežná s osou x a hlavná poloos a = 2.
8. Určte množinu bodov, ktorej analytické vyjadrenie je 9x2 – 16y2 – 36x – 96y – 252 = 0.
9. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc hyperboly 4x2 – y2 = 36, ktoré sú rovnobežné s priam-kou 5x – 2y+7 = 0. Aká je vzdialenosť ohnísk a vrcholov hyperboly?
10. Na hyperbole 9x2 – 4y2 = 324 nájdite bod najbližší k priamke 15x – 4y – 60 = 0.
23B – GONIOMETRICKÉ ROVNICE.
1. Riešte v R rovnicu
2. Riešte rovnicu pre x<0; 2>
3. Riešte v R rovnicu:
sin x +sin 2x +sin 3x + sin 4x = 0.
4. Riešte v R rovnicu 2 sin2x – 5 cos x +1 = 0.
5. Určte definičný obor funkcie
6. Riešte v R rovnicu 4 cos3 x – 4 cos 2 x +cos (+x) +1 = 0
7. Riešte v R:
sin 2x. cos x = sin x
8. Zistite, koľko riešení má rovnica na intervale < – ; 2>.
9. Riešte v R rovnicu sin3 x – cos3 x = 0.
10. Určte počet riešení rovnice sin4 x = 1 – cos4 x pre x<0; 3>.
11. Riešte v R:
sin x + cos x =
24A – ZHODNÉ ZOBRAZENIA V ROVINE. DRUHY ZHODNÝCH ZOBRAZENÍ, SKLADANIE ZOBRAZENÍ, SKLADANIE OSOVÝCH SÚMERNOSTÍ.
1.
Daný je lichobežník ABCD. V určených zobrazeniach načrtnite obrazy útvarov:
a) v posunutí T určenom dvojicou bodov [A; C] zobrazte BD:
b) v otáčaní R určenom R(C; ) zobrazte
c) v súmernosti S podľa stredu O zobrazte ACD A'C'D', kde OBC |BC| = 2|OC|.
2. Posunutie T je dané [A; B], kde A[0; 1], B[0; 3]. V uvažovanom zobrazení T určte obrazy nasledujúcich útvarov:
a) priamky
b) úsečky CD, kde C[ – 1; – 2], D[2; 1]
c) krivky y = 4(x – 3)2+2
3. Zobrazenie Z vznikne skladaním osových súmernosti S1 o S2 v tomto poradí:
Súmernosť S1 je určená priamkou y = 0, súmernosť S2 priamkou y = x. Určte výsledné zo-brazenie Z. V zobrazení Z určte obrazy nasledujúcich útvarov:
a) priamky p: x = 2
b) bodu R[3; – 3]
c) krivky k: (x – 4)2+y2 = 4
4. Daný je rovnobežník ABCD, v ktorom platí |AB| > |BC|. Zobrazte daný rovnobežník v osových súmernostiach S určených priamkami:
a) b) c) čo vzniká zložením osových súmerností S1( ) o S2 ( ).
5. V súmernosti podľa stredu S sa bod A[2; – 4] zobrazí do bodu A'[4; 4]. Určte súradnice stredu súmernosti S a v uvažovanej stredovej súmernosti zobrazte dané útvary:
a) k: (x – 1)2+(y – 2)2 = 4
b) q: x+y+3 = 0
6. Daná je kružnica k: x2+y2 – 9x – 2y – 14 = 0. Zobrazte danú kružnicu v osových súmer-nostiach určených
a) osou x
b) osou y
c) osou I. a III. kvadrantu.
7. Na priamke x+2y – 5 = 0 nájdite bod, ktorý má od priamky 3x – 4y – 5 = 0 vzdialenosť v = 2.
8. Nájdite rovnicu kružnice súmernej s kružnicou (x – 1)2+(y – 2)2 = 1 vzhľadom na priamku x – y – 3 = 0.
9. Dané sú 2 rôznobežky p, q a bod C, ktorý na nich neleží. Zostrojte všetky rovnostranné trojuholníky ABC tak, aby bod Ap Bq.
10. Dané sú 2 rôznobežky p, q a bod S, pre ktorý platí Sp Sq. Zostrojte všetky štvorce KLMN so stredom S tak, aby Kp Mq.
24B – RIEŠENIE ROVNÍC METÓDOU SUBSTITÚCIE
Otázka nie je k dispozícii.
25A – PODOBNÉ ZOBRAZENIA V ROVINE. PODOBNOSŤ TROJUHOLNÍKOV, ROVNOĽAHLOSŤ AKO PODOBNÉ ZOBRAZENIE, ROVNOĽAHLOSŤ KRUŽNÍC.
1. Dvojmetrová zvislá tyč vrhá tieň v dĺžke 7,5 dm. Súčasne bol odmeraný tieň stromu, kto-rého dĺžka je 120 cm. Aký vysoký je je strom?
2. Pre ABC a KBL platí: ABC KBL, kde A[1; 2], B[4; 1], K[3; – 1]. Určte pomer obvodov a pomer obsahov týchto trojuholníkov.
3. Dané sú kružnice k1(S1; r1), k2(S2; r2), kde S1S2 r1 > r2. Úsečka AB je tetivou kružnice k1.
Zostrojte tetivu A'B' kružnice k2 tak, aby úsečky AB, A'B' boli navzájom rovnoľahlé.
4. V rovnoľahlosti so stredom S[0; 2] a koeficientom h = – 3 určte obrazy nasledujúcich út-varov:
a) bodu A[0; 3]
b) priamky p: y = – 2x+1
c) kružnice k: (x – 1)2+(x – 2)2 = 4
5. Nasledujúcim výrokom prideľte pravdivostnú hodnotu:
a) Pre každé 2 trojuholníky platí: ak sú podobné, potom sú aj rovnoľahlé.
b) Existujú 2 rôzne kružnice, ktoré majú práve jeden stred rovnoľahlosti.
c) Pre každé 2 kružnice platí: ak existuje ich stred rovnoľahlosti, potom existuje spoločná dotyčnica týchto 2 kružníc a stred jej rovnoľahlosti je jej prvkom.
6. Rozoberte všetky možnosti rovnoľahlosti 2 kružníc.
7. Dané sú 2 nesústredné kružnice k1(S1; r1), k2(S2; r2) a bod M, ktorý leží vo vonkajšej ob-lasti obidvoch kružníc. Zostrojte všetky rovnoramenné trojuholníky KLM so základňou KL tak, aby Kk1 Lk2 veľkosť uhla KML = 45°.
8. Daný je všeobecný ABC. Do tohto trojuholníka vpíšte štvorec KLMN tak, aby KL AB, MBC, NAC.
9. Dané sú 2 rôznobežky p, q a bod A, pre ktorý platí Aq. Zostrojte všetky kružnice k pre-chádzajúce bodom A a dotýkajúce sa priamok p, q.
10. Daná je priamka p, kružnica k tak, že p∩k = Ø a mimo nich bod A. Zostrojte všetky úseč-ky XY, pre ktoré platí: Xp, Yk a bod A delí úsečku XY tak, že |AY| = 3|AX|.
25B – OPERÁCIE V RÔZNYCH ČÍSELNÝCH OBOROCH. URČOVANIE D(A, B), N(A, B). ODMOCNINA V R A C.
1. Určte
2. Riešte rovnicu x6 – 7x3 – 8 = 0 v R a C.
3. Rozkladom na súčin riešte v C rovnicu x4+9x2 – x3 – 9x = 6x2+54.
4. Dané sú výrazy A(x) = x4 – 1, B(x) = x4 – x3+x2 – x. Určte najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok výrazov A(x), B(x).
5. Určte delitele čísel 528, 396. Čomu sa rovná najväčší spoločný deliteľ, teda D(528, 396)?
6. Vhodnou metódou určte najväčšie spoločné delitele a najmenšie spoločné násobky čísel 48, 120, 242.
7. Dané sú iracionálne čísla a = , b =. Určte a ukážte, že a = b.
8. Upravte: .
9. Určte aQ tak, aby sa zlomok dal krátiť.
|
