Matematika: funkcie

Funkcia (z R do R) má vlastnosť, že každému x patriacemu definičnému oboru funkcie priraďuje práve jedno y. Napr. 3 -> 5 (funkciou nie je: 3 -> 9
4 -> 6 4 -> 9)
4 -> 9

Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel, ktorým funkcia priraďuje práve jedno reálne číslo. Ak v úlohe definičný obor nie je stanovený, myslíme na maximálny definičný obor.
Obor hodnôt funkcie je množina všetkých reálnych čísel, ku ktorým existuje v definičnom obore funkcie číslo x, ktorému sú priradené.
Graf funkcie je množina obrazov všetkých usporiadaných dvojíc [x; y], ktoré patria funkcii.

VLASTNOSTI:
Maximum - najväčšia hodnota, ktorú môže funkcia na danom definičnom obore dosiahnuť.
Ostré maximum - v celom D ho funkcia dosiahla práve raz.
Minimum - najmenšia hodnota, ktorú môže funkcia v D dosiahnuť. Zhora ohraničená - existuje číslo h také, že všetky f(x) sú menšie ako h
Zdola ohraničená - existuje číslo d také, že všetky f(x) sú väčšie ako d
Rastúca - x1 < x2 , tak aj f(x1) < f(x2)
Rastúca po častiach - rastúca je len časť funkcie
Klesajúca - x1 < x2 , tak f(x1) > f(x2)
Klesajúca po častiach - klesajúca je len časť funkcie
Konštantná - funkčné hodnoty v x1 a x2 sa rovnajú
Párnosť - funkcia je párna ó "x Î Df : -x Î Df ∧ f(x) = f(-x)
(Graf funkcie je súmerný podľa osi)
Nepárnosť - funkcia je nepárna ó "x Î Df : -x Î Df ∧ f(x) = - f(-x)
Prostá ó "x1,x2 Î Df : x1 ≠ x2 ∧ f(x1) ≠ f(x2)
Inverzná funkcia - (vymení sa H za D a D za H)
(Ak funkcia nie je prostá, potom k nej neexistuje inverzná funkcia.

Ak je pôvodná funkcia rastúca (klesajúca), tak aj k nej inverzná je rastúca (klesajúca).)


MOCNINOVÉ FUNKCIE
y = xr (r patrí kladným celým číslam)
r = 1 => lineárna funkcia
r = 2 => kvadratická funkcia
r - párne číslo => D = R, H = <0; ∞)
rastúca (0; ∞), klesajúca (- ∞; 0)
zdola ohraničená
ostré minimum v bode 0
párna
r - nepárne číslo => D = R, H = R
rastúca
nie je ohraničená
nemá maximum, minimum
nepárna
LINEÁRNA FUNKCIA
f: y = ax + b
f: y = kx + q
grafom je priamka
k - smernica k = tg x k>0 -funkcia je rastúca
k<0 - funkcia je klesajúca
k=0 - funkcia je konštantná

KVADRATICKÁ FUNKCIA
f: y = ax2 + bx + c
grafom kvadratickej funkcie je parabola
a>0 vrchol paraboly je dole - funkcia je ohraničená zdola
a<0 vrchol paraboly je hore - funkcia je ohraničená zhora
klesajúca (od -nekonečno po x-ovú súradnicu vrcholu), rastúca (od x-ovej súradnice vrcholu po nekonečno)
súradnice vrcholu nájdeme dopĺňaním do úplného štvorca, priesečníky s osou x nájdením koreňov rovnice. FUNKCIA N-TEJ ODMOCNINY
f: y = √x
rastúca (vznikla ako inverzná funkcia z kladnej polovice x2)
prostá
n = 2 => D = <0; ∞)
H = <0; ∞)

LOMENÁ FUNKCIA
f: y = 1
xn (n = 0 => konštantná funkcia)

LINEÁRNA LOMENÁ FUNKCIA (+ n je nepárne číslo)
f: y = ax + b
cx +d (a,b,c,d-konštanty)
základná lineárna lomená funkcia f: y = 1
x
- nepárna
- nemá max, min, nie je ohraničená,.. N- PÁRNE ČÍSLO
párna
zdola ohraničená, minimum...

EXPONENCIÁLNA FUNKCIA
f: y = ax ( a>0 Ù a≠0)
Ak a Î(1; ∞), tak funkcia je rastúca a graf má tvar:

Ak a = 1, tak funkcia je konštantná.

Ak a Î (0;1), tak funkcia je klesajúca a má tvar:
(+ vlastnosti)


LOGARITMICKÁ FUNKCIA
f: y = log a x
- vzniká ako inverzná funkcia exponenciálnej funkcie
Ak a Î(1; ∞), tak funkcia je rastúca a graf má tvar:



Ak a Î (0;1), tak funkcia je klesajúca a má tvar:.