Elementárna teória množín a logika

1. Určte množiny A, B tak, aby platilo: AB={1, 2, 3, 4, 5, 6}, AB={1, 4}, A´={2, 3, 7}, B´={5, 6, 7}, A-B={5, 6}, B-A={2, 3}. A, B sú podmnožinami množiny C, C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Znázorni graficky.
Riešenie:

A={1, 4, 5, 6}
B={1, 2, 3, 4}

2. Ktorá z uvedených množín má najmenší počet prvkov?
a) Množina všetkých deliteľov čísla 240
b) Množna všetkých násobkov čísla 7
c) Množina všetkých riešení rovnice 2x+3=7-5x
d) Množina všetkých trojuholníkov s obvodom 10-10mm
Riešenie: a) = {2,4,6,8,10,12,15,16,…,240} – konečná množina prvkov
b) = {7,14, 21,28,35,…} – je ich nekonečne veľa
c) = {0.5}
d) existuje veľa trojuholníkov s týmto daným obvodom
Záver: c) je správne, lebo má iba jeden prvok

3. V školskej jedálni sa stravuje spolu 89 miestnych detí, 96 cezpoľných chlapcov a 88 cezpoľných dievčat. Spolu sa tam stravuje 112 dievčat. Koľko miestnych chclapcov sa stravuje v jedálni? Graficky znázorni.
Riešenie: základom je si spraviť správny náčrtok, z ktorého všetko vypočítame.

Cezpoľní Mmiestny=89
96x=? Chlapci
88 y Dievčatá=112
Odpoveď: V jedálni sa stravuje 65 miestnych chlapcov.
4. Povedzte negácie daných výrokov:
a) Množina A obsahuje najviac 3 prvky.
b) Množina B má práve dva prvky.
c) Množina C obcasuje aspoň jeden prvok.
d) Každý prvok množiny A je prvkom množiny B.
e) Žiadny prvok množiny C nie je prvkom množiny B.
f) Existuje číslo, ktoré je väčšie ako 5 alebo menšie ako 5.

Riešenie:
a) Množina A obsahuje aspoň 4 prvky
b) Množina B obsahuje najviac jeden alebo aspoň tri prvky
c) Množina C neobcasuje žiadny prvok
d) Aspoň jeden prvok množiny A nie je prvkom množiny B
e) Aspoň jeden prvok množiny C je prvkom množiny B
f) Existuje číslo, ktoré je rovné 5

5. Dedinský holič
Niekto definuje: Dedinský holič je taký muž v dedine, ktorý holí všetkých obyvateľov dediny, čo sa neholia sami. Hľadáme odpoveď na otázku: Holí sa holič dediny sám?
Riešenie: Ak predpokladáme, že sa holič holí sám, tak podľa už uvedeného vysvetlenia sa nesmie holiť. Narazili sme tu na protirečenie. Tak nech sa teda sám neholí. Avšak podľa definície sa potom práve má oholiť. Ale aj druhý predpoklad vedie k rozporu.

6. Žalobca na súde vyhlásil: „Ak obžalovaný banku vykradol, tak mal spoločníka.“ Obžalovaný vyhlásil: „To nie je pravda.“ Čo vyplýva z výroku obžalovaného? Vykradol alebo nevykradol banku? Mal alebo nemal spoločníka?
Riešenie: zápis podľa demorganových pravidiel:

Urobíme negáciu, lebo to nie je pravda. Teda, vykradol banku a nemal spoločníka.
Toto je len obmena implikácie: ak nemal spoločníka, tak banku nevykradol.
Použijeme negáciu, lebo to nienje pravda. Teda: nemal spoločníka a vykradol banku.

Záver: Obžalovaný banku vykradol, a nemal spoločníka.