Číselné obory a výrazy

Čísla rozdeľujeme podľa ich vlastností do číselných oborov. Poznáme tieto základné obory:

Prirodzené čísla N1, 2, 3, ...
Celé čísla Z ... -2, -1, 0, 1, 2, ...
Racionálne čísla Q ; ; 0,05; 4; ; ...
Reálne čísla R ; e; ; ¶2; 1; ; ...
Komplexné čísla C2-3i; i; ...

Platí, že jeden číselný obor je podmnožinou iného:

N€Z€Q€R€C

Prirodzené čísla – všetky celé kladné čísla od 1 do nekonečna, nie nula. Môžeme ich navzájom sčítať a násobiť, pričom stále zostaneme v N. Výsledky ostatných operácií nemusia patriť do N.

Celé čísla – všetky N plus nula a celé záporné čísla. Okrem sčítania a násobenia ich môžeme bez zmeny oboru aj odčítavať.

Racionálne čísla – patria sem všetky čísla, ktoré sa dajú vyjadriť v tvare zlomku p/q, kde p je z množiny Z a q z množiny N. Bez zmeny oboru ich môžeme násobiť,deliť sčítavať a odčítavať a tiež umocňovať na celočíselné exponenty.

Reálne čísla – sú to všetky čísla, ktoré na číselnej osi môžeme zobraziť ako 1 bod. Tvorí ich množina racionálnych a iracionálnych čísel, tie spolu vytvárajú súvislú číselnú os. Môžeme s nimi robiť všetko okrem odmocňovania záporného čísla.

Komplexné čísla – majú tvar a + ib, pričom a, b sú z množiny R a i je imaginárna jednotka definovaná ako i2 = -1. Pokiaľ b 0, nie je možné ich zaznačiť na
číselnú os, ale zaznačujú sa do Gaussovej roviny.

Existujú aj číselné obory s vyššou komplexnosťou. (graficky by sa dali zaznačiť len do n-rozmerných priestorov)
Algebraické výrazy
Algebraické výrazy rozdeľujeme do základných skupín:

Mnohočleny (polynómy) – výrazy v tvare A(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ..... + a1x + a0,
pričom an ≠ 0. Takýto výraz sa nazýva mnohočlen n-tého stupňa s premennou x a koeficientmi an až a0 z oboru R. Jednotlivé sčítance sa nazývajú členy nohočlena.
Číslo a0 nazývame absolútny člen. Takýto polynóm sa nazýva aj racionálny celistvý výraz.

Racionálne lomené výrazy – sú to podiely dvoch mnohočlenov A(x)/B(x), pričom B(x) ≠ 0.

Výrazy s absolútnou hodnotou – napríklad výraz v tvare A(x) = | x – 3 | + 5. Takéto výrazy upravujeme na tvar bez absolútnej hodnoty tak, že ho rozpíšeme na viac výrazov, podľa toho ako sa správa na určitých intervaloch definičného oboru.

Výrazy s odmocninami – výrazy obsahujúce x pod odmocninou, napr. A(x) = . V takýchto výrazoch sa snažíme odstrániť x spod odmocniny.(úpravou na (x+3)2)
Takisto nikdy nenechávame odmocninu v menovateli zlomku a definičný obor dovoľuje mať pod odmocninou len nezáporné číslo.

+ vzájomné kombinácie týchto všetkých

Pri každom výraze treba vylúčiť všetky x pre ktoré nemá výraz zmysel, hlavne pri odmocninách a zlomkoch. Pri určovaní zmyslu vždy vychádzame zo zadaného tvaru, nie z výsledku po úprave.

Základnou úlohou pri výrazoch je ich úprava na zjednodušený tvar. Využívame pri tom krátenie, roznásobovanie, rozklad na súčin dvojčlenov, úprava podľa vzorcov. Upravený tvar nesmie byť v tvare zloženého zlomku a nemá mať v menovateli odmocninu, má byť čiastočne odmocnený, ak je to možné, a zlomky mať v základom tvare.