Rozoznávame rôzne typy trojuholníkov podľa toho, z akého hľadiska ich skúmame.
Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla delíme trojuholníky na:
ostrouhlé /každý z uhlov je menší ako 90 stupňov/
tupouhlé /jeden z uhlov je väčší ako 90 stupňov/
pravouhlé /jeden uhol má presne 90 stupňov/
Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180 stupňov a vonkajších 360 stupňov.
V rovnostrannom trojuholníku má každý uhol 60 stupňov.
V rovnoramennom trojuholníku sú uhly pri základni rovnaké.
Podľa veľkosti strán rozoznávame trojuholníky:
všeobecné /každá z troch strán má rozličnú veľkosť a zároveň trojuholník nie je pravouhlý/
rovnoramenné /dve jeho strany majú rovnakú veľkosť/
rovnostranné /tri strany trojuholníka majú rovnakú veľkosť/
A čo je to vlastne trojuholník?
Matematik by povedal, že nech A, B, C sú tri rôzne body v rovine, ktoré neležia na jednej priamke. Trojuholníkom s vrcholmi A, B, C nazývame prienik polrovín ABC, ACB, BCA. Úsečky AB, BC, AC sú stranami trojuholníka a ich zjednotenie je obvod trojuholníka. Strany trojuholníka musia mať takú vlastnosť, že súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany. Platí, že
a + b> c
b + c> a
a + c> b
Táto vlastnosť sa nazýva trojuholníková nerovnosť.
Výška trojuholníka
Je to priamka prechádzajúca vrcholom trojuholníka a je kolmá na protiľahlú stranu. V ľubovoľnom trojuholníku prechádzajú všetky tri výšky jedným bodom, ktorý nazývame ortocentrum. Ortocentrum môže mať ľubovoľnú polohu: vo vnútri /ak je ostrouhlý/, na obvode /ak je pravouhlý/ a mimo trojuholníka /ak je tupouhlý/.
Ťažnice trojuholníka:
Ťažnice sú úsečky, ktoré spájajú stredy strán s vrcholmi protiľahlých strán. Prechádzajú jedným bodom, ktorý voláme ťažisko. Ťažisko delí každú z ťažníc v pomere 2 : 1, pričom dlhšia časť je medzi vrcholom a ťažiskom, a kratšia časť medzi ťažiskom a stredom strany.
Stredné priečky trojuholníka
Sú to spojnice stredov dvoch strán a sú rovnobežné s treťou stranou trojuholníka. Veľkosť strednej priečky sa rovná polovičnej veľkosti strany trojuholníka, s ktorou je rovnobežná. Stredná priečka trojuholníka delí trojuholník na dve časti, ktorých obsahy sú v pomere 1 : 3.
Osi strán
Priamky, ktoré prechádzajú stredom strán trojuholníka, nazývame osi strán. Pretínajú sa v jednom bode, ktorý je stredom opísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka).
Osi vnútorných uhlov
Pretínajú sa v jednom bode, ktorý tvorí stred vpísanej kružnice (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých strán trojuholníka).
Výpočet obsahu
Vzorec pre výpočet obsahu trojuholníka vyzerá nasledovne: (a ∙ Va) : 2, pričom a je strana trojuholníka a Va je výška na ňu kolmá.
Výpočet obvodu
Obvod trojuholníka sa rovná súčtu všetkých troch strán trojuholníka. Platí: o = a + b + c
Podobnosť trojuholníkov
Dva trojuholníky môžu byť zhodné podľa vety: sss, sus, usu.
Veta (sss): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých troch stranách sú zhodné.
Veta (sus): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom sú zhodné.
Veta (usu): Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.
Pravouhlý trojuholník
Pri pravouhlom trojuholníku platí, že jeden z vnútorných uhlov má 90 stupňov. Súčet ostatných dvoch ostrých uhlov je tiež 90 stupňov. Pravouhlý trojuholník má dve odvesny a jednu preponu. Preponu je najdlhšia strana trojuholníka a je vždy oproti pravému uhlu. Platí tu Pytagorova veta: Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma jeho odvesnami. Z toho vyplýva vzorec: c2 = a2 + b2.
Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou AB je kružnica s priemerom AB s výnimkou bodov A a B. Táto kružnica sa nazýva Talesova kružnica. Keďže odvesny sú na seba kolmé, obsah pravouhlého trojuholníka môže vypočítať aj takto: a ∙ b : 2, kde a, b sú odvesny pravouhlého trojuholníka. Základný pravouhlý trojuholník má strany dlhé 3, 4, 5, kde najdlhšia strana 5 je prepona a strany s dĺžkami 3 a 4 sú odvesny.
