Nula a nekonečno

Nula (0) je číslo, to předchází číslo jeden a následuje záporná čísla. Nula znamená nic, nula, neplatný nebo nepřítomnost hodnoty. Například, jestliže množství vašich bratrů je nula, pak vy máte žádné bratry. Jestliže rozdíl mezi množstvím kusů ve dvou hromadách je nulový, to znamená dvě hromady mít stejné množství kusů. Nekonečno je to, co je větší než každé konečné číslo. Složitější je představa nekonečna v geometrii. Lze si představit, že běžný Eukleidovský prostor (i rovina) má mnoho různých nekonečen, "bodů" s nekonečnou vzdáleností v různých směrech. Jiná možností je doplnit prostor jen o jedno nekonečno – existuje pak mnoho přirozených zobrazení, která jednoznačně zobrazí celý prostor sám na sebe, a po zobrazení odpovídá nekonečnu obyčejný bod. V matematice uvedené jednoduché pojetí nestačí, protože jsou "různá nekonečna", pro jejichž popis se používají pojmy jako kardinály (kardinální čísla) a ordinály (ordinální čísla).

V jistý kalendáře to je běžný zvyk vynechat nulu roku když rozšíří kalendář na roky předchozí k jeho úvodu: vidět proleptic Gregorian kalendář a proleptic juliánský kalendář. Nula v Indii podle všeho vznikla bez prokazatelného řeckého či babylonského vlivu. Alespoň tak můžeme soudit ze skutečnosti, že ji poprvé nalézáme v Kambodži a v Indonésii, tedy kulturně de facto na čínsko-indickém pomezí. Poziční desetinná soustava vznikala v Indii zřejmě z řady různých zdrojů. Prvním stupněm byl nejspíš zápis čísla pomocí znaků jednotek a řádů (to ovšem platí třeba i pro matematiku staroegyptskou). V další fázi se začaly znaky označující řády vynechávat. Takový systém ovšem pro svoji úplnost vyžaduje ještě znak pro nulu (který existoval například v babylonské matematice, ale nebyl užíván důsledně).

Zajímavou otázkou je pak vlastní původ nuly. Babyloňané používali buď vynechané místo (mezeru), nebo znak kroužku. Druhý způsob od nich převzali i helénističtí matematici. Řekové však k poziční soustavě ve starověku nepřešli – Juškevič se domnívá, že jim v jejich "abecedním" systému bránily hlavně speciální znaky pro čísla 20, 30 apod. (k přechodu na poziční soustavu jsou třeba pouze speciální znaky pro malá čísla až do základu soustavy a to samozřejmě tak úplně nefunguje ani v mluvené češtině, viz třeba speciální znaky pro čísla mezi 11 a 20). Poziční systém o základu 10 existoval v Indii již v 6. století. V nápisech z let 683 a 686 z Kambodže a Indonésie se již používá nula jako ve formě tečky, tak i kroužku (Označováno jako šunja = prázdnota, což byl rovněž dosti základní metafyzický pojem v některých místních nábožensko-filozofických směrech. Arabové každopádně toto slovo převzali v podobě as-sifr, z čehož pak pochází po značném posunutí významu naše "cifra".).

Fakt, že Indové označovali nulu podobně jako helénističtí Řekové (a Babyloňané), by mohl svědčit pro převzetí. Jisté to však není – v této době byl už řecký vliv v Indii dávno za zenitem, i když v minulosti nepochybně existoval (lze potvrdit i v etymologii některých matematických termínů). Doklady o používání nuly z Kambodži a Indonésie svědčí snad naopak o vlivu matematiky čínské (kde ovšem tato koncepce známá nebyla). Původ nuly není tedy v úplnosti jasný; indičtí matematici snad zkombinovali řadu vnějších vlivů a odstranili nedůslednosti dřívějších zápisů čísel. Takové tvrzení je ovšem nutně obecné a poněkud nic neříkající. Zbývá snad ještě dodat, že poziční systém nebyl v Indii jen konstrukcí profesionálních matematiků – už zhruba od 8. století se totiž podle všeho používal i v hovorové řeči.

Nekonečno, nula a pojem limity jsou spolu navzájem svázány. Řečtí filozofové nedokázali složit tento trojlístek dohromady, a proto byli špatně vyzbrojeni proti Zenonovým hádankám. Ačkoliv Zenonovy paradoxy působily tak uhrančivě, že se je pokoušeli vysvětlit znovu a znovu, tyto snahy filozofů byly při neexistenci vhodných nástrojů odsouzeny k neúspěchu. Zenon sám řešení svých záhad neznal a ani je nehledal. Jeho filozofii tyto paradoxy dokonale vyhovovaly. Byl totiž členem filozofické školy eleatů, jejíž zakladatel Parmenides tvrdil, že základní přirozenost kosmu je neměnná a bez pohybu. Ukázalo se, že Zenonovy paradoxy podporují Parmenidovy argumenty. Zenon podle vlastního přesvědčení dokázal, že změna a pohyb vedou k paradoxům, a věřil, že tak přesvědčil své současníky o tom, že existuje pouze neměnné Jedno. Zenon opravdu pokládal pohyb za cosi nemožného a důmyslné paradoxy měly být hlavní oporou této teorie.
Ve starém Řecku existovaly i další myšlenkové školy. Atomisté například věřili, že celý svět je tvořen z malých částeček nazvaných atomy, které jsou neviditelné a věčné. Veškerý pohyb byl podle atomistů ve skutečnosti pohybem těchto malých částic. Aby se ale atomy vůbec mohly pohybovat, musely mít samozřejmě k dispozici volný prostor. Pokud by neexistovala prázdnota (vakuum), atomy by byly nehybně natlačeny jeden na druhý a vše by zamrzlo. Atomistická teorie tedy vyžadovala, aby vesmír byl naplněn prázdnem, dokonce nekonečnou prázdnotou. Atomisté si tak osvojili pojem nekonečného vakua a v něm zahrnuli dohromady nekonečno a nulu. Šlo o šokující závěr, ale neviditelné nejmenší částečky hmoty, s nimiž pracovala atomová teorie, představovaly možný způsob, jak se vyrovnat se Zenonovými paradoxy. Protože atomy jsou dále nedělitelné, existuje jistá hranice, za níž nelze věci půlit na stále menší části. Zenonovu operaci z paradoxu Achilla a želvy nešlo za těchto okolností provádět do nekonečna. Po několika velkých krocích by Achilles dělal stále menší, až už by ve zkracování kroku nešlo pokračovat. Nebo si to můžeme představit tak, že Achilles by svým posledním krokem překročil atom, želva by to však již krokem poloviční délky nezvládla. Všechno vychází, jak má, a Achilles by prchající želvu nakonec dohonil.

Jiná filozofie, soupeřící s atomistickou teorií, se namísto přijetí tak bizarního pojmu, jakým se starým Řekům zdálo být nekonečné vakuum, rozhodla přeměnit vesmír v útulnou ořechovou skořápku. Neexistovalo nekonečno ani žádná prázdnota, jen nádherné koule, které obklopovaly Zemi – a ta byla samozřejmě středem takto uspořádaného kosmu. Taková byla Aristotelova představa, později ještě vylepšená alexandrijským astronomem Ptolemaiem. Právě tato koncepce se stala dominantní filozofií západního světa. Aristoteles přitom zatracoval nulu i nekonečno a Zenonovy paradoxy se pokusil vysvětlit, respektive spíše vytěsnit, následujícím způsobem. Aristoteles jednoduše prohlásil, že matematikové nekonečno nepotřebují a nepoužívají. Ač snad nekonečno může ve vědomí matematiků potenciálně existovat – jako např. představa dělení úsečky na nekonečný počet dílů – nikdo takovou operaci ve skutečnosti provést nedokáže. Tudíž nekonečno není. Nekonečně malé dílky v Achillově paradoxu jsou pouhým výtvorem Zenonovy fantazie, nemají nic společného s reálným světem. Aristoteles tak elegantně zatratil Zenonovy paradoxy konstatováním, že jde jen o konstrukce lidské mysli.

Z tohoto konceptu pak vyplývá překvapující odhalení. Představa světa, založená na Pythagorově vesmíru a Aristotelově kosmu (respektive jeho pozdějším vylepšení Ptolemaiem), má planety pohybující se po obvodech křišťálových koulí. Není zde žádné nekonečno, počet těchto koulí – sfér – nemůže být nekonečný, jedna z nich musí být poslední. Tato výjimečná kulová plocha je modrá jako půlnoční obloha a posetá drobnými zářícími body – hvězdami. Za touto poslední koulí pak už neexistuje nic, vesmír najednou končí. Svět je usazen ve skořápce, která uchovává koule a hvězdy; kosmos je konečný a zcela zaplněný hmotou. Není žádné nekonečno ani žádná prázdnota, nejsou nekonečně velká čísla ani nula.

Řada úvah vedla k dalším důsledkům – a to byl také důvod, proč Aristotelova filozofie přetrvávala tak dlouho. Jeho systém dokázal existenci Boha. Nebeské koule se na svých místech pomalu otáčejí, vytvářejí hudbu a touto melodií naplňují vesmír. Něco však ten pohyb musí způsobovat. Nehybná Země nemůže být zdrojem tohoto pohybu, takže sféra nejblíže Zemi musí být rozhýbána svým sousedem. Tato koule je pak naopak musí získávat energii od vedlejší větší koule ještě vzdálenější od středu – a tak dále. Neexistuje ale žádné nekonečno, počet koulí je konečný a konečný je i počet věcí, mezi kterými se tento pohyb předává. Něco ovšem musí být prvotní příčinou tohoto pohybu, něco musí pohybovat nejvzdálenější sférou stálic – a tím něčím je Bůh. Když se křesťanství uchytilo v západním světě, bylo úzce svázáno s Aristotelovým názorem na svět a jeho důkazem Boží existence. Atomistické teorie byly naopak spojeny s ateistickými filozofiemi. Pochybnosti o Aristotelově učení byly za těchto okolností rovny pochybnostem o samotné existenci Boží.
Aristotelův systém byl mimořádně úspěšný. Výboje nejslavnějšího Aristotelova žáka Alexandra Velikého pak vedly k tomu, že se řecká filozofie ještě před předčasnou Alexandrovou smrtí v roce 323 př. n. l. rozšířila směrem na východ až do Indie. Aristotelovo učení o mnoho století přetrvalo Alexandrovu říši, přežilo až do alžbětinské doby v 16. století. S dlouhotrvajícím přijetím Aristotelových názorů bylo spojeno odmítání nekonečna a prázdnoty; v Aristotelově logice vyžaduje prázdnota existenci nekonečna, a proto popření nekonečna vede nutně také k popření prázdnoty. Logika vedla konec konců k závěru, že jsou pouze dvě možnosti, které by v přírodě dovolily prázdnotu – a z obou vyplývala existence nekonečna. Za prvé by prázdnoty mohlo být nekonečné množství. Za druhé by jí mohlo být konečné množství, ale protože prázdnota odpovídá jednoduše nepřítomnosti hmoty, musí být v tomto případě naopak hmoty nekonečně mnoho, aby mohla být zabezpečena konečnost prázdnoty (aby už na prázdnotu nikde jinde nezbývalo místo) – tedy se opět neobejdeme bez nekonečna. V obou variantách jsou existence prázdnoty a nekonečna spolu nutně spojeny.

Prázdnota, respektive nula, podvrací Aristotelův argument, kterým odstranil Zenonovy paradoxy, a stejně zpochybňuje i Aristotelův důkaz existence Boha. Spolu s přijetím Aristotelových argumentů byli tedy Řekové nuceni odmítnout nulu, prázdnotu i nekonečno. Byl tu však jeden háček: zbavit se prázdnoty a nekonečna není tak jednoduché. Ohlédněme se proti proudu času. Jednotlivé události se odehrávají v průběhu dějin, ale neexistuje-li taková věc jako nekonečnost, nemůže být ani nekonečně mnoho těchto událostí. Něco muselo být na úplném počátku, logicky samotný vznik světa. Ale co bylo před tím? Prázdnota? Tu přece Aristoteles nepřipouští. Není-li ale počátek, musel vesmír existovat neustále a také bude muset navždy přetrvat i v budoucnu (a tedy nekonečně dlouho). Musí tedy být buď nekonečno, nebo nula, svět bez existence alespoň jednoho nedává smysl.

Aristoteles nenáviděl myšlenku prázdnoty natolik, že si z obou možností vybral věčný, nekonečný vesmír a zavrhl představu světa, který by obsahoval nicotu. Řekl, že věčnost v čase je „potenciálním“ nekonečnem podobně jako Zenonovo nekonečné dělení. (Bylo to dosti nepřesvědčivé, ale mnozí učenci takovou argumentaci přijali; pro některé byla přijatelná varianta počítající se stvořením světa a pokládali ji za další důkaz existence Boha. Středověcí filozofové a teologové byli nuceni se s podobnými záhadami potýkat po celá staletí.).S nekonečny zřejmě poprvé počítáme, když se učíme pracovat s limitami. Dalším vstupem tohoto fenoménu do výuky matematiky pak bývají věty o kardinalitách. Aneb: Je stejně sudých a celých čísel? A je stejně čísel reálných?

Kardinalita je vlastnost, která vyjadřuje řád/mohutnost nekonečna. Všechna nekonečna totiž nejsou "stejně velká", reálných čísel je třeba z řady důvodů více než celých (například proto, že celá čísla je na rozdíl od těch reálných možné seřadit, tj. říct "a mezi těmito dvěma žádné není“ – celých čísel je také na konečném kousku číselné osy konečný počet, reálných je na libovolném úseku osy nekonečno - reálná čísla vlastně "jsou" všemi body osy). Sudých čísel je v rámci teorie kardinalit stejně jako celých,.totéž platí pro čísla racionální (tedy vlastně zlomky - i ty můžeme seřadit, aniž nějaký vynecháme – (1/1, 2/1, 1/2, (2/2) 1/3, 2/3, (3/3) 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4...). Otázkou je, zda existují množiny, které se svou kardinalitou nacházejí právě mezi skupinou čísel celých a reálných. Slavný matematik George Cantor byl přesvědčen, že nikoliv. Nebyl však schopen své intuitivní přesvědčení matematicky dokázat a při řešení problému zešílel. Někdy se také zamýšlím nad tím, co je to vlastně nekonečno a jestli existuje.