Výroková logika - Výroky

Základy výrokovej logiky

Výrok je tvrdenie, o ktorom má zmysel hovoriť, či je pravdivé alebo nepravdivé. Výrokmi nie sú vety neúplné, opytovacie, rozkazovacie alebo zvolacie. Môže to byť len oznamovacia veta. O výroku, ktorý je pravdivý hovoríme, že platí, ktorý je nepravdivý neplatí. Môžu byť len dve pravdivostné hodnoty: pravdivý a nepravdivý. Ten istý výrok nemôže byť súčasne pravdivý aj nepravdivý (môže mať len jednu pravdivostnú hodnotu). Pravdivosť výroku označujeme symbolom 1 (P alebo T), nepravdivosť symbolom 0 (N alebo F). Výroky označujeme veľkými tlačenými písmenami.
ph(A)=1
ph(B)=0

Nikdy nepíšeme rovnosť medzi výrok a jeho ph. Výroky delíme na jednoduché (Dnes je pekne.) a zložené (špeciálnym výrokom je kvantifikovaný výrok)

Výrokmi nie sú: Dobré ráno.
x+5=6
Kvantifikátory sú logické symboly, slovné väzby, ktoré obsahujú premenné a udávajú počet alebo odhad počtu hodnôt premennej, pre ktorú niečo platí.

Existujú dva druhy kvantifikátorov:
Existenčný- existuje také x pre ktoré niečo platí
Všeobecný- („pre každé, pre všetky, pre ľubovoľné“) pre všetky x niečo platí
Pri existenčnom kvantifikátore používame aj výraz „existuje práve jeden“)- za existenčný kvantifikátor dáme výkričník.
Ak je vo výroku použitý aj existenčný aj všeobecný kvantifikátor, výrok sa nazýva podľa prvého použitého kvantifikátora.

V matematike rozlišujeme pojem „výrok“ a „výroková forma“.
Výroková forma nie je výrokom. V jej matematickom zápise vystupujú premenné a stane sa výrokom až vtedy, keď za príslušnú premennú dosadíme konkrétnu hodnotu.
Napr: x+2=7 –výroková forma
6+2=7 –nepravdivý výrok
Výroky môžeme spájať a tak dostaneme nové zložitejšie výroky.

Druhy výrokov:
1., Aksiomy- výroky, ktoré považujeme za pravdivé. Ich pravdivostnú hodnotu netreba dokazovať.
2., Definície- výroky, ktorými zavádzame nové pojmy a vzťahy pomocou dohodnutej symboliky a terminológie
3., Vety- matematické tvrdenia, ktorých pravdivosť treba dokázať matematickým dôkazom
4., Doplnky viet- výroky s matematickým obsahom, ktoré dopĺňajú, prípadne špecifikujú matematické vety
5., Hypotézy- tvrdenia, ktorých pravdivosť nevieme určiť (Existujú mimozemské civilizácie.)

Operácie s výrokmi:
1., unárne- na prevedenie operácie stačí 1 výrok (negácia)
2., binárne- potrebujemem 2 výroky (disjunkcia, konjunkcia, implykácia, ekvivalencia)

Negácia: Ku každému výroku V možno priradiť výrok V´ (čítame non vé), ktorý popiera to, čo tvrdí výrok V. To znamená, že ak V je pravdivý výrok V´ je nepravdivý výrok a opačne. Negáciou negácie je pôvodný výrok.

Pri negovaní výrokov, v ktorých sa vyskytujú určité počty sa používajú špeciálne slovné zvraty.

V––––––––––––> V´
Každý je... Aspoň 1 nie je....
Aspoň 1 je.... Ani 1 nie je...
Aspoň n je... Najviac (n-1) je...
Najviac n je.... Aspoň (n+1) je...
Práve 1 je.... Nikto nie je, alebo aspoň 2 sú...
Tautológia je zložený výrok, ktorý má vo všetkých prípadoch ph=1
Kontradikcia je opakom tautológie, vo všetkých prípadoch nadobúda ph=0
Výrokové premenné sú dané výroky v zložitom výroku (napr: AvB)- výrokové premenné tu sú A,B
Výrokovou formuláciou sú výrazy zostavené z výrokových premenných, zátvoriek a logických operátorov tak, že po dosadení ľubovoľných výrokov za výrokové premenné dostaneme výrok.
Neutrálna formula je výroková formula, ktorá aspoň pri 1 ohodnotení výrokových premenných nadobúda ph=1 a aspoň pri 1 ohodnotení sa ph=0
Neutrálne formuly spolu s tautológiou sa nazývajú splniteľné formuly- strieda sa 1 a 0.

Pomocou jednoduchého elektrického obvodu, v ktorom je zdroj, spínač, žiarovka, môžeme modelovať pravdivostné hodnoty výrokov. Uzavretosť obvodu závisí od spínača- môže byť v dvoch sústavách (1 alebo 0)

Úsudok je akt myslenia, ktorý má tento priebeh:
1., Poznáme pravdivostné hodnoty určitých výrokov- predpoklady úsudku
2., Ďalším výrokom priraďujeme hodnoty- záver úsudku
Úsudok je logicky správny, keď pri splnených predpokladoch je splnený i záver úsudku.

Pravdivostná hodnota zloženého výroku je jednoznačne určená pravdivostnou hodnotou elementárnych výrokov, z ktorých je zložený a logickými spojkami, ktorými sú jednoduché výroky spojené.

Zložené výroky :
Disjunkcia: Logický súčet
Výrok AvB je pravdivý, ak aspoň jeden z výrokov A,B je pravdivý. Dva výroky (A,B) sú spojené spojkou „alebo“. Spojka alebo je disjunktor. Výrok A je predpoklad a výrok B tvrdenie. Spojku alebo nechápeme len vo vylučovacom zmysle, môžu platiť obidve tvrdenia.
Napr:
A: Číslo 7 je párne.
B: Číslo 7 je prvočíslo.
AvB: Číslo 7 je párne alebo prvočíslo. (pravdivý výrok, lebo platí, že 7 je prvočíslo)

Konjunkcia: Logický súčin
Výrok A^B je pravdivý, ak sú obidva výroky pravdivé. Výroky sú spojené spojkou a súčasne. Spojku a chápeme vo význame „a zároveň, súčasne“.
Napr: Číslo 7 je párne a súčasne prvočíslo

Implikácia:
Výrok A=>B je pravdivý vo všetkých prípadoch okrem toho, keď je 1. výrok pravdivý a 2. nepravdivý.
Napr: Ak je číslo 7 párne, tak je prvočíslo.

Ekvivalencia:
Výrok AB je pravdivý vtedy, keď sú obidva výroky pravdivé alebo obidva nepravdivé.
Napr: Číslo 7 je párne práve vtedy, keď je prvočíslo.