Základy výrokovej logiky

Výrok je tvrdenie, o ktorom má zmysel hovoriť, či je pravdivé alebo nepravdivé. Výrokmi nie sú vety neúplné, opytovacie, rozkazovacie alebo zvolacie. Môže to byť len oznamovacia veta. O výroku, ktorý je pravdivý hovoríme, že platí, ktorý je nepravdivý neplatí. Môžu byť len dve pravdivostné hodnoty: pravdivý a nepravdivý. Ten istý výrok nemôže byť súčasne pravdivý aj nepravdivý (môže mať len jednu pravdivostnú hodnotu). Pravdivosť výroku označujeme symbolom 1 (P alebo T), nepravdivosť symbolom 0 (N alebo F). Výroky označujeme veľkými tlačenými písmenami.
ph(A)=1
ph(B)=0

Nikdy nepíšeme rovnosť medzi výrok a jeho ph. Výroky delíme na jednoduché (Dnes je pekne.) a zložené (špeciálnym výrokom je kvantifikovaný výrok)

Výrokmi nie sú: Dobré ráno.
x+5=6
Kvantifikátory sú logické symboly, slovné väzby, ktoré obsahujú premenné a udávajú počet alebo odhad počtu hodnôt premennej, pre ktorú niečo platí.

Existujú dva druhy kvantifikátorov:
Existenčný- existuje také x pre ktoré niečo platí
Všeobecný- („pre každé, pre všetky, pre ľubovoľné“) pre všetky x niečo platí
Pri existenčnom kvantifikátore používame aj výraz „existuje práve jeden“)- za existenčný kvantifikátor dáme výkričník.
Ak je vo výroku použitý aj existenčný aj všeobecný kvantifikátor, výrok sa nazýva podľa prvého použitého kvantifikátora.

V matematike rozlišujeme pojem „výrok“ a „výroková forma“.
Výroková forma nie je výrokom. V jej matematickom zápise vystupujú premenné a stane sa výrokom až vtedy, keď za príslušnú premennú dosadíme konkrétnu hodnotu.
Napr: x+2=7 –výroková forma
6+2=7 –nepravdivý výrok
Výroky môžeme spájať a tak dostaneme nové zložitejšie výroky.

Druhy výrokov:
1., Aksiomy- výroky, ktoré považujeme za pravdivé. Ich pravdivostnú hodnotu netreba dokazovať.
2., Definície- výroky, ktorými zavádzame nové pojmy a vzťahy pomocou dohodnutej symboliky a terminológie
3., Vety- matematické tvrdenia, ktorých pravdivosť treba dokázať matematickým dôkazom
4., Doplnky viet- výroky s matematickým obsahom, ktoré dopĺňajú, prípadne špecifikujú matematické vety
5., Hypotézy- tvrdenia, ktorých pravdivosť nevieme určiť (Existujú mimozemské civilizácie.)

Operácie s výrokmi:
1., unárne- na prevedenie operácie stačí 1 výrok (negácia)
2., binárne- potrebujemem 2 výroky (disjunkcia, konjunkcia, implykácia, ekvivalencia)

Negácia: Ku každému výroku V možno priradiť výrok V´ (čítame non vé), ktorý popiera to, čo tvrdí výrok V. To znamená, že ak V je pravdivý výrok V´ je nepravdivý výrok a opačne. Negáciou negácie je pôvodný výrok.

Pri negovaní výrokov, v ktorých sa vyskytujú určité počty sa používajú špeciálne slovné zvraty.

V––––––––––––> V´
Každý je... Aspoň 1 nie je....
Aspoň 1 je.... Ani 1 nie je...
Aspoň n je... Najviac (n-1) je...
Najviac n je.... Aspoň (n+1) je...
Práve 1 je.... Nikto nie je, alebo aspoň 2 sú...