Obrazy navzájom opčných kč sú v Gaussovej rovine súmerné podľa počiatku.(viď.obr.)a
Nech Kč a=a1+a2 i potom Kč a=a1+(-a2) i sa nazýva komplexné združené číslo k a (opaená imaginárna časť).
Kč a a kč a sú súmerne združené podľa osi x (viď obr.)

a=a1+a2i
-a=-a1-a2i
a=a1-a2i


a=4+2i
-a=-4-2i
a=4-2i


Príklad:
Znázornite v Gaussovej rovine a=3+4i.
a=3+4i=>a1=3
a2=4i

a=3-4i
-a=-3-4i


a = a21+a22 a = a21+a22
a = 32+42 a = 32+(-4)2
a = 9+16 a = 9+16
a = 25 a = 25
a = 5 a = 5


Počtové operácie s Kč.

1.,sčítanie- pri sčítaní 2Kč,a;b sčítame odpovedajúce si časti reálnu s reálnou a imaginárnu s imaginárnou a výsledok je opäť Kč.
Príklad:
a=2+4i
b=3+i
a+b=(2+3)+(4i+i)
a+b=5+5i



2.,odčítanie- odčítať 2Kč znamená pričítať opačné.
Príklad: a=2+4i
b=3+i=>-b=-3-i
a-b=(2-3)+(4i-i)
a-b=-1+3i
3.,sčítanie a odčítanie Kč graficky- budeme využívať rovnobežníkové pravidlo zo sčitania a odčitania vektorov (absolútnu hodnotu Kč budeme považovať za vektor).
Príklad: a=a1+a2i
b=b1+b2i
c=a+b
d=a-b

a=5+2i
b=2+5i=>-b=-2-5i
c=a+b
c=(5+2)+(2i+5i)
c=7+7i

d=a-b
d=(5-2)+(2-5i)
d=3-3i
4.,Násobenie Kč reálnym číslom- Kč a=a1+a2i ak R;k=0 potom k.a=k.a1+k.a2i.
Príklad: a=2+3i
k=2
k.a=2.(2+3i)
k.a=4+6i
5.,Násobenie dvoch Kč- využijeme pravidlo,,každý s každým”.
Výsledok bude Kč.
a=a1+a2i
b=b1+b2i
a.b=(a1+a2i).(b1+b2i)
a.b=a1.b1+a2.b2i2+a2bi
a.b=(a1.b1-a2.b2)+(a1.b2+a2.b1)I

reálna časť imaginárna časť
Príklad: a=5+2i
b=2+5i
a.b=(5+2i).(2+5i)
a.b=10+25i+4i+10i2=-1
a.b=10-10+29i
a.b=29i
6.,Podiel Kč- pri delení 2Kč sa snažíme o odstránenie imaginárnej jednotky i z menovateľa. Čitateľa aj menovatela pôvodného zlomku vynásobíme komplexne združeným číslom v menovateli. Po úprave bude výsledok opäť Kč.

–––– = ––––––––. –––––––– = ––––––––––––––––

Príklad:

––––––––. –––––––– = –––––––– = –––– - –––– i

R.Č I.Č

Goniometrický tvar Kč.

Zápis komplexného čísla a=a1+a2i,a=0, v tvare a .(cos +i.sin )kde cos = –––– =>a2= a .sin
a= a .cos + a .sin .i
sin = –––– =>a1= a .cos
sa nazýva goniometrický tvar čisla a. Čislo a R sa nazýva argument čísla a. Argument čísla a sa nazýva základný argumetn práve v tedy,keď platí
0= <2 .
- argument Kč a je uhol, ktorý zviera absolúrna hodnota s osou x. Vyčíslením sínusu a kosínusu príslušného argumentu opäť dostaneme Kč a v algebrickom tvare.
Príklad:
Vyjadrite v goniometrickom tvare c=1+i.
C=1+i=>c1=1,c2=1
c = 12+12
c = 1+1
c = 2

cos = –––– =>cos = –––. ––– = ––––
= 450
sin = –––– =>sin = –––. ––– = ––––

c = c. (cos + i.sin )
c = 2. (cos 950 + i.sin 450)




Príklad:
Napíšte v algebrickom tvare a = 6.(cos 420 + i.sin 420)
a = 6.(cos 420 + i sin 420)
a = 6.(0,743 + 0,669 i)
a = 4,458 + 4,019 i

Súčin a podiel Kč v goniometrickom tvare.

súčin:
a = a. (cos + i.sin )
b = b. (cos +i.sin )
a.b = a. b. (cos ( + ) + i. sin ( + )

Príklad:
a = –––. (cos 1350 + i.sin 1350)
b = 3. (cos 600 + i.sin 600)
a.b = –––. 3.(cos 1950 + i.sin 1950)
a.b = 2,5. (cos – 0,965 + i. (- 0,258))
a.b = - 2,41 – 0,645i

podiel:

––– = –––. (cos ( - ) + i.sin ( - )

Príklad:

––– = –––. (cos 750 + i.sin 750)

––– = –––. (cos 750 + i.sin 750)

––– = –––. (0,25 + 0,965 i )

––– = 0,0718 + 0,2683 i


Moivrova veta.

Pre každé číslo a každé číslo n N platí:
(cos + i.sin )n = cos n. + i.sin n. Ak chceme umocniť Kč an potom použijeme vzťah:
an = a n. (cos n. + i.sin n. )


Príklad:
a= 1 + i => a=1, a2 = 1
a = 12 + 12 => a = 2
cos = –––

sin = –––

a = 2 – ( cos 450 + i.sin 450)
a4 = ( 2 )4. (cos 4.450 + i.sin 4.450)
a4 = 22. (cos 1800 + i.sin 1800)
a4 = 4.((-1) + i.0)
a4 = -4

Riešenie kvadratických rovníc v obore c.