Matematika Komplexné čísla
Komplexné čísla.
Keďže KR s DNapríklad:
a=-2+i=>a1=-2;a2=1
b=3i=>b1=0;b2=3
c=4=>c1=4;c2=0
d=5-2i=>d1=5;d2=-2
Komplexné čísla, ktoré majú reálnu časť rovnú nule sa nazývajú rýdzo imaginárne.
Komplexné čísla ktorých imaginárna časť sa rovná nule sú vlastne reálne čísla.
Mocniny komplexnej jednotky (imaginárnej) i [0,1]:
i2=-1
i3=i2.i=-i
i4=1
i17=i16.i=i
i27=i24.i3=-i
Absolútna hodnota komplexného čísla, komplexné združené číslo.
Vieme, že absolútna hodnota reálneho čísla je jeho vzdialenosť na číselnej osi od nuly. Podobne to bude platiť aj v gausovej rovine a určíme ju z pravouhlého trojuholníka pomocou Pytagorovej vety:
a = a21+a22
a=2-3i=>a1=2
a2=-3
a =?
a = a21+a22
a = 22+(-3)2
a = 4+9
a = 13 =1
Komplexné číslo, ktorého absolútna hodnota a =1 sa nazýva komplexná jednotka. Všetky komplexné jednotky ležia v Gaussovej rovine na kružnici s polomerom 1.
Príklad:
Zistite čí komplexné číslo c= –––– - –––– i je komplexnou jednotkou c =1.
c= –––– - –––– c = c21+c22
c1= –––– c = –––– + ––––
c2= –––– c = –––– + ––––
c = ––––
c =1=>je komplexná jednotka.
Komplexné združené čísla, opačné komplexné číslo.
Komplexné číslo –a=-a1+(-a2)i nazveme opačným kč k a.
Obrazy navzájom opčných kč sú v Gaussovej rovine súmerné podľa počiatku.(viď.obr.)a
Nech Kč a=a1+a2 i potom Kč a=a1+(-a2) i sa nazýva komplexné združené číslo k a (opaená imaginárna časť).
Kč a a kč a sú súmerne združené podľa osi x (viď obr.)
a=a1+a2i
-a=-a1-a2i
a=a1-a2i
a=4+2i
-a=-4-2i
a=4-2i
Príklad:
Znázornite v Gaussovej rovine a=3+4i.
a=3+4i=>a1=3
a2=4i
a=3-4i
-a=-3-4i
a = a21+a22 a = a21+a22
a = 32+42 a = 32+(-4)2
a = 9+16 a = 9+16
a = 25 a = 25
a = 5 a = 5
Počtové operácie s Kč.
1.,sčítanie- pri sčítaní 2Kč,a;b sčítame odpovedajúce si časti reálnu s reálnou a imaginárnu s imaginárnou a výsledok je opäť Kč.
Príklad:
a=2+4i
b=3+i
a+b=(2+3)+(4i+i)
a+b=5+5i
2.,odčítanie- odčítať 2Kč znamená pričítať opačné.
Príklad: a=2+4i
b=3+i=>-b=-3-i
a-b=(2-3)+(4i-i)
a-b=-1+3i
3.,sčítanie a odčítanie Kč graficky- budeme využívať rovnobežníkové pravidlo zo sčitania a odčitania vektorov (absolútnu hodnotu Kč budeme považovať za vektor).
Príklad: a=a1+a2i
b=b1+b2i
c=a+b
d=a-b
a=5+2i
b=2+5i=>-b=-2-5i
c=a+b
c=(5+2)+(2i+5i)
c=7+7i
d=a-b
d=(5-2)+(2-5i)
d=3-3i
4.,Násobenie Kč reálnym číslom- Kč a=a1+a2i ak R;k=0 potom k.a=k.a1+k.a2i.
Príklad: a=2+3i
k=2
k.a=2.(2+3i)
k.a=4+6i
5.,Násobenie dvoch Kč- využijeme pravidlo,,každý s každým”.
Výsledok bude Kč.
a=a1+a2i
b=b1+b2i
a.b=(a1+a2i).(b1+b2i)
a.b=a1.b1+a2.b2i2+a2bi
a.b=(a1.b1-a2.b2)+(a1.b2+a2.b1)I
reálna časť imaginárna časť
Príklad: a=5+2i
b=2+5i
a.b=(5+2i).(2+5i)
a.b=10+25i+4i+10i2=-1
a.b=10-10+29i
a.b=29i
6.,Podiel Kč- pri delení 2Kč sa snažíme o odstránenie imaginárnej jednotky i z menovateľa. Čitateľa aj menovatela pôvodného zlomku vynásobíme komplexne združeným číslom v menovateli. Po úprave bude výsledok opäť Kč.
–––– = ––––––––. –––––––– = ––––––––––––––––
Príklad:
––––––––. –––––––– = –––––––– = –––– - –––– i
R.Č I.Č
Goniometrický tvar Kč.
Zápis komplexného čísla a=a1+a2i,a=0, v tvare a .(cos +i.sin )kde cos = –––– =>a2= a .sin
a= a .cos + a .sin .i
sin = –––– =>a1= a .cos
sa nazýva goniometrický tvar čisla a. Čislo a R sa nazýva argument čísla a. Argument čísla a sa nazýva základný argumetn práve v tedy,keď platí
0= <2 .
- argument Kč a je uhol, ktorý zviera absolúrna hodnota s osou x. Vyčíslením sínusu a kosínusu príslušného argumentu opäť dostaneme Kč a v algebrickom tvare.
Príklad:
Vyjadrite v goniometrickom tvare c=1+i.
C=1+i=>c1=1,c2=1
c = 12+12
c = 1+1
c = 2
cos = –––– =>cos = –––. ––– = ––––
= 450
sin = –––– =>sin = –––. ––– = ––––
c = c. (cos + i.sin )
c = 2. (cos 950 + i.sin 450)
Príklad:
Napíšte v algebrickom tvare a = 6.(cos 420 + i.sin 420)
a = 6.(cos 420 + i sin 420)
a = 6.(0,743 + 0,669 i)
a = 4,458 + 4,019 i
Súčin a podiel Kč v goniometrickom tvare.
súčin:
a = a. (cos + i.sin )
b = b. (cos +i.sin )
a.b = a. b. (cos ( + ) + i. sin ( + )
Príklad:
a = –––. (cos 1350 + i.sin 1350)
b = 3. (cos 600 + i.sin 600)
a.b = –––. 3.(cos 1950 + i.sin 1950)
a.b = 2,5. (cos – 0,965 + i. (- 0,258))
a.b = - 2,41 – 0,645i
podiel:
––– = –––. (cos ( - ) + i.sin ( - )
Príklad:
––– = –––. (cos 750 + i.sin 750)
––– = –––. (cos 750 + i.sin 750)
––– = –––. (0,25 + 0,965 i )
––– = 0,0718 + 0,2683 i
Moivrova veta.
Pre každé číslo a každé číslo n N platí:
(cos + i.sin )n = cos n. + i.sin n. Ak chceme umocniť Kč an potom použijeme vzťah:
an = a n. (cos n. + i.sin n. )
Príklad:
a= 1 + i => a=1, a2 = 1
a = 12 + 12 => a = 2
cos = –––
sin = –––
a = 2 – ( cos 450 + i.sin 450)
a4 = ( 2 )4. (cos 4.450 + i.sin 4.450)
a4 = 22. (cos 1800 + i.sin 1800)
a4 = 4.((-1) + i.0)
a4 = -4
Riešenie kvadratických rovníc v obore c.
Kvadratická rovnica: ax2+bx+c=0;a=0;a,b,c R ktorej diskriminant D=b2-4ac, má v množine c:
a.,dva rôzne korene
x1= –––––––– ; x2= ––––––––
práve vtedy, keď je D>0
b.,jeden (dvojnásobný) koreň
x1,2= - ––––
keď je D=0
c.,dva rôzne komplexne združené imaginárne korene
x1= –––––––– ; x2= ––––––––
keď je D<0
Korene KR budú komplexne združené čísla : x1=a1+a2i; x2=a1-a2i
Príklad:
Riešte v množine c rovnicu:
3x2+4x+2=0=>a=3;b=4;c=2
D=b2-4ac
D=42-4.3.2
D=16-24
D=-8<0=>x1= –––––––– x2= ––––––––
x1= –––––––– x2= ––––––––
x1= ––––––––. i x2= ––––––––. i
Binomická rovnica.
Každá rovnica tvaru xn=m sa nazýva binomická rovnica s neznámou x.
Rozoznávame dva druhy binomických rovníc:1.,m>0
2.,m<0
Každá binomická rovnica má n koreňou (x6=1=>n=6 koreňou).
Ak m<0 potom korene vypočítame podľa vzorca:
m. cos –––––––– + i.sin ––––––––
Ak m>0 potom korene vypočítame podľa vzorca:
m. cos –––––––– + i.sin ––––––––
Ak korene znázorníme na kružnici s polomerom m potom dostanema pravidelný n-uholník.
Príklad: x4=1=0 n=4
x4=1 m=1>0
x0= 1. cos –––––––– + i.sin ––––––––
x0=1.(cos 00 + i.sin 00 )
x0=1
x1= 1. cos –––––––– + i.sin ––––––––
x1=1.(cos 900 + i.sin 900 )
x1=i
x2= 1. cos –––––––– + i.sin ––––––––
x2=1.(-1+0i)
x2=-1
x3= 1. cos –––––––– + i.sin ––––––––
x3=1.(cos 2700 + i.sin 2700 )
x3=1.(0+(-i).i)
x3=-1.
|
