Deliteľnosť čísel

Deliteľnosť

Otázkou deliteľnosti vo všeobecnosti sa zaoberal francúzsky matematik(a nielen matematik) Pascal.
Definícia: Nech "a", "b" sú prirodzené čísla. Potom číslo "a" nazývame deliteľom čísla "b" ,ak existuje také prirodzené číslo "n" , že platí rovnosť b = a.n .Teda hovoríme, že číslo "b" je deliteľné číslom "a". Označenie:
a | b, čítaj číslo „a“ je deliteľom čísla „b“

Napríklad
9|63, (čítaj .. číslo 9 je deliteľom čísla 63) , lebo 63 = 9 x 7. Poznámky:
1. Definícia deliteľnosti vyjadrená pre prirodzené čísla platí pre všetky čísla .Teda platí aj pre číslo 0. 2. Pojmy deliteľnosť a delenie sú dva rôzne (nezameniteľné) pojmy. Veď ani definícia deliteľnosti nepoužíva počtový výkon(operáciu) delenie. 3. Operácia 0:0 nemá zmysel ,ale 0|0 áno, t.j. číslo 0 je deliteľom čísla 0, keďže 0 = 0.n , kde n je ľubovoľné prirodzené číslo. 4. Podľa definície pre prirodzené čísla platí, ak a|b, potom číslo a nie je väčšie ako číslo b. Základné vlastnosti deliteľnosti:(tu použité premenné označujú prirodzené čísla)
1. a|a. (Reflexívnosť.)
t.j. každé číslo je svojím deliteľom (platí aj pre číslo 0),keďže platí a = a. 1 (1 je prirodzené číslo).
Napríklad: 27|27, 0|0, 1|1, ...

2. Ak a|b a súčasne b|c, potom a|c. (Tranzitívnosť)
Napríklad: 3|27, 27|162, potom 3|162

3. Ak a|b a súčasne a|c, potom a|(b + c).
t.j. ak určité číslo je deliteľom dvoch rôznych čísel , potom je deliteľom aj súčtu týchto dvoch čísel. Napríklad: 5|15, 5|60, potom 5|75 = 15 + 60 = 75.

4. Ak a|(b + c) a súčasne a|b, potom a|c.
t.j ak určité číslo je deliteľom súčtu dvoch čísel a súčasne je deliteľom jedného člena tohto súčtu ,potom je deliteľom aj druhého člena tohto súčtu.
Napríklad: 7|35 = 14 + 21, 7|14, potom 7|21

5. Ak a|b, potom a|b.d.
t.j.ak jedno číslo je deliteľom druhého čísla potom je deliteľom aj každého násobka druhého čísla. Napríklad: 6|18, potom 6|36 = 18 x 2 , 6|54 = 18 x 3 , ...

6. Ak a|1, potom a = 1

7. Ak a|b a súčasne b|a, potom a = b. 8. a|0
t.j. ľubovoľné prirodzené číslo je deliteľom čísla 0. Aj nula .

9. Ak a|c , b|c, a súčasne (a,b) = 1, potom (a.b)|c. Napríklad : 3|45 ,5|45 , (3,5) = 1 , potom 15|45

Podľa počtu deliteľov prirodzené čísla sa delia do 4 skupín:
1. Jedného deliteľa má číslo 1.

2. Dvoch deliteľov majú prvočísla.
Základná vlastnosť prvočísiel: Ak je prvočíslo deliteľom súčinu, potom je deliteľom každého činiteľa tohto súčinu.
3. Viac ako dva ,ale konečný počet deliteľov majú zložené čísla.
4. Nekonečne veľa deliteľov má číslo 0.