Postupnosti a rady

21. Postupnosti a rady

Definícia :
Funkcia, ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísiel {2,3, ..., n, ...} lebo jej podmnožina typu {,2,3, ..., k} nazýva sa postupnosť.

N = {2, ..., n, ...}

Postupnosť definovaná na množine všetkých prirodzených čísiel je nekonečná postupnosť, postupnosť definovaná na množine prvých k prirodzených čísel je konečná postupnosť.

Jednotlivé hodnoty funkcie, ktorá je postupnosťou, nazývame členy postupnosti.
Funkčnú hodnotu postupnosti a pre n Î N nazývame n – tý člen postupnosti a označujeme ju a(n) alebo častejšie an.
Napr.: napíšeme prvých päť členov nekonečnej postupnosti : a: y = 7n – 5
Riešenie: n = 1 ® y = 7.1 – 5 = 2, n = 2 ® y = 7.2 – 5 = 9 atď.

Grafom postupnosti je množina navzájom izolovaných bodov (A1, A2, A3, ...), pričom An má súradnice [n, an], kde n Î N, an Î R. grafom konečnej postupnosti je konečná množina navzájom izolovaných bodov (A1, A2, A3, ..., An).

Napr.: znázornili sme prvých päť členov postupnosti (n/2)∞n=1 :





Rekurentné určenie postupnosti:
Vtedy je daný prvý člen postupnosti alebo niekoľko prvých členov postupnosti a pre ďalšie členy je daný predpis, ako určíme člen an + 1.

Postupnosti majú také isté vlastnosti ako funkcie, čiže:
a) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva rastúca, ak pre všetky n Î N platí an + 1 > an.
b) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva klesajúca, ak pre všetky n Î N platí an + 1 < an.
c) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva neklesajúca, ak pre všetky n platí an + 1 ≥ an.
d) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva nerastúca, ak pre všetky n platí an + 1 ≤ an.
e) postupnosti rastúce, neklesajúce, klesajúce a nerastúce sa súhrnne nazývajú monotónne postupnosti.
f) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva konštantná, ak pre všetky jej členy platí an + 1 = an.
g) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva zdola ohraničená, ak existuje také d Î R, že pre všetky jej členy platí an ≥ d.
h) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva zhora ohraničená, ak existuje také číslo h Î R, že pre všetky jej členy platí an ≤ h.
i) postupnosť {an}∞n=1, ktorá je ohraničená zdola a zároveň zhora, sa nazýva ohraničená postupnosť.

ARITMETICKÁ A GEOMETRIKCÁ POSTUPNOSŤ:
Definícia: postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva aritmetická, ak existuje také číslo d, že pre každé prirodzené číslo n platí an + 1 = an + d.

Číslo d sa nazýva diferencia.
Postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva geometrická, ak existuje číslo q, že pre každé prirodzené číslo n platí an + 1 = an. q. Číslo q sa nazýva kvocient.

Pre aritmetické a geometrické postupnosti platia tieto vety:

1A n – tý člen aritmetickej postupnosti 1G n –tý člen geometrickej postupnosti
je daný vzťahom je daný vzťahom
an = a1 + (n – 1)d an = a1. qn – 1
2A pre ľubovoľné dva členy ar, as 2G pre ľubovoľné dva členy ar, as
aritmetickej postupnosti platí geometrickej postupnosti platí
ar = as + (r – s)d ar = as. qr – s

3A pre súčet sn prvých n členov 3G pre súčet sn prvých n členov
aritmetickej postupnosti platí geometrickej postupnosti platí
sn = n/2 (a1 + an) sn = a1. (qn – 1)/(q – 1), ak q ą 1
sn = n. a1, ak q = 1

Dané prvky sú geometricky rastúce alebo klesajúce počas Nn období na danom množstve N0.
Nn = N0 (1 + p/100)n

LIMITA postupnosti:
Definícia: reálne číslo a sa nazýva limita postupnosti {an}∞n=1, ak pre každé kladné reálne číslo є existuje také číslo n Î N, že všetky členy danej postupnosti začínajúc členom an + 1 sú z intervalu {a – є, a + є}.
: limitu zapisujeme lim an = a , čo čítame „limita an pre n rastúce nad všetky hranice sa rovná“ n ® ∞
: každá postupnosť má najviac jednu limitu

Vety o limitách postupnosti: ak je daná limx®∞ an = a, limx®∞ bn = b.
1. lim (an + bn) = lim an + lim bn = a + b
lim (an - bn) = lim an - lim bn = a – b
2. lim (an. bn) = lim an. lim bn = a. b
3. lim (c. an) = c. lim an = c. a
4. lim (an/bn) = lim an/ lim bn = a/b

RADY:
Nech {an}∞n=1 je geometrická postupnosť s kvocientom q, pre ktorý platí |q| = < 1. potom postupnosť {sn}∞n=1, pričom sn = a1 + a2 + .. + an je konvergentná a platí limx®∞ sn = a1/(1 – q). Čiže má súčet.
Ak je v geometrickej postupnosti {an}∞n=1 prvý člen a1 ≠ 0 a pre kvocient q platí |q| = ≥ 1, tak postupnosť {sn}∞n=1, sn = a1 + a2 + .. + an je divergentná. Čiže nemá súčet.

Definícia: nech je daná postupnosť (an)∞n=1. Výraz, ktorý obsahuje jej členy a1, a2, ..., an, .. má tvar ® a1 + a2 + .. + an + .. , sa nazýva nekonečný rad.

Členy postupnosti sú členmi nekonečného radu.
Ak je daná postupnosť (an)∞n=1 geometrická, to znamená, ak an = an = a1. qn – 1, tak príslušný rad a1 + a2 + . + an + .. = a1 + a1.qn – 1 + .. sa nazýva nekonečný geometrický rad.

Nekonečný rad môžeme napísať v tvare

Príklady: Postupnosti a rady

1. daná je postupnosť {xn}∞n = 1, xn = 3n + 2. Určte všetky n Î N, pre ktoré platí:
a) xn ≥ 29,
b) b) xn < 47
2. nájdite prvých 7 členov postupnosti {an}∞n=1, v ktorej:
a) a1 = 10, an + 1 = 2a – 1, b) a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = 3an – an + 1
3. nájdite rekurentné určenie postupnosti:
a) (n/n + 1) ∞n = 1,
b) (n (n + 1) ∞n = 1
4. načrtnite graf postupnosti bn = 2-n + (-1)n + 1
5. ktorá z postupností je aritmetická a ktorá geometrická. Určte diferenciu, resp. kvocient:
a) (1/n) ∞n = 1
b) (32n) ∞n = 1
c) (2n.32 – n) ∞n = 1
d) (an) ∞n = 1
6. nájdite a1, d a s10, ak je dané: a1 + a2 = 44, a10 – a3 = 21
7. a) nájdite súčet prvých sto nepárnych čísel
b) nájdite súčet prvých dvanásť členov geometrickej postupnosti, v ktorej a1 = 2, q = √2.
8. a) koľko trojciferných čísel je deliteľných číslom 6?
b) nájdite súčet prvých dvoch členov aritmetickej postupnosti an.
9. v aritmetickej postupnosti a1 = 4,8, d = 0,4. Koľko za sebou idúcich členov, začínajúc prvým, treba sčítať, aby bol súčet väčší ako 170?
10. súčet prvých štyroch členov geometrickej postupnosti je 80. Určte ich, ak viete, že štvrtý je deväťkrát väčší ako druhý.
11. dĺžky strán pravouhlého trojuholníka tvoria tri za sebou idúce členy aritmetickej postupnosti. Vypočítajte ich dĺžku, ak je obsah trojuholníka 6m2.
12. aký veľký vklad vzrastie za 158 rokov na 1346 Sk, ak sa úrokuje 2% celoročne?(ZB SVŠ 286/142)
13. pri prechode sklenou doskou stráca svetlo 8 % svojej intenzity. Koľko takýchto dosiek treba na seba položiť, aby sa intenzita svetla stlmila približne na polovicu?
14. polčas premeny rádioaktívnej látky je čas, za ktorý sa polovica jej množstva premení na rozpadové produkty. Aký je vek archeologického nálezu, ak sa v spoločnej vrstve s ním našlo 2,1 g rádioaktívneho uhlíka s polčasom premeny 5700 rokov a 300 g rozpadových produktov? (úbytok hmotnosti je spôsobený vyžarovaním pri premene možno zanedbať)
15. zistite, ktoré z týchto postupností sú rastúce a ktoré klesajúce:
a) (n + 2/n + 3) ∞n = 1
b) (n2 + 3n) ∞n = 1
c) (n2 – 10n + 1) ∞n = 1
d) {(n + 2)/(n + 3)} ∞n = 1
16. zistite, ktorá z týchto postupností je ohraničená:
a) (2 – 3n) ∞n = 1
b) (n2) ∞n = 1
c) (1/2 – 3n) ∞n = 1
17.

daná je postupnosť (an) ∞n = 1, an = 2n/n + 1 a zistite, či postupnosť ((-1)n.2) ∞n = 1 má limitu.
18. ukážte, že platí: a) lim (1 – n)/n2 = 0
b) lim n!/(n + 1)! – n! = 0
c) lim (n + 4)/(n2 – 5) = 0
d) lim (n3 + 5n2 – 2)/(2n3 – n) = 1/2
19. v ktorej aritmetickej postupnosti platí: a1 + a5 = 16, a3 + a4 = 19 (ZB SVŠ 277/72)
20. určte limitu postupností lim 5n2 – 6n4/ 3n8, lim 4n10 – n2 + 5/3n10 + 105n2 + 8, 4n100 – 5/40n100 – 99n99
21. vypočítajte limity: a) lim (1 + 2 + 3 + .. + n)/n2, lim (n + 1)!/n! – (n + 1)!
22. ako zlomky s celočíselným čitateľom a menovateľom napíšte čísla a = 0,5, b = - 0,34, c = 4,5, d = 0,539, e = 0,9 (čísla a, b, c, e sú periodické, len v d je periodická len posledná 9)
23. je daný štvorec so stranou a, do neho vpísaná kružnica, do nej znova štvorec, do neho kružnica atď. Vypočítajte súčet obsahov a) štvorcov, b) kružníc.
24. vypočítajte 1 – 3/x – 9/x2 – 27/x3 - ... = 8/x + 10
25. vypočítajte limity a) limx®π/4 sin2x – cos2x – 1/cosx – sinx
b) limx®-1 x2 + x/2(x2 – 1)
26. vypočítajte súčet všetkých dvojciferných čísel deliteľných 3, ak je dané a1 = 12, sn = 99.
27. polčas premeny rádia C je približne 20 minút, to znamená, že za 20 minút sa premení polovica množstva rádia. Aké množstvo ostane za 6 hodín z pôvodného množstva 10-3 g?
28. povrch kvádra je 78 cm2, súčet jeho rozmerov je 13. Aký veľký jej jeho objem, ak rozmery tvoria tri za sebou idúce členy geometrickej postupnosti? (ZB SVŠ 284/127)
29. zistite či je ohraničená postupnosť ½, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ...
30. znázornite na grafe limity {(5n + 1)/n}, {4/(n.(-1)n)}, |x - 3| < 5.
31. ak k číslam 2, 7, 17 pričítame to isté číslo, vzniknú prvé tri členy geometrickej postupnosti. Určte ich. (ZB SVŠ 283/120)
32. rozhodnite, ktoré z daných radov sú konvergentné a ktoré divergentné (konvergentné sčítajte):
a) b) c) d) (ZB SVŠ 290/162)



!!!!!!poznámočka: pre limity, ktoré sú označené len lim, platí pod ňou x ® ∞!!!!!!
Príjemnúčku zábavku.