21. Postupnosti a rady

Definícia :
Funkcia, ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísiel {2,3, ..., n, ...} lebo jej podmnožina typu {,2,3, ..., k} nazýva sa postupnosť.

N = {2, ..., n, ...}

Postupnosť definovaná na množine všetkých prirodzených čísiel je nekonečná postupnosť, postupnosť definovaná na množine prvých k prirodzených čísel je konečná postupnosť.

Jednotlivé hodnoty funkcie, ktorá je postupnosťou, nazývame členy postupnosti.
Funkčnú hodnotu postupnosti a pre n Î N nazývame n – tý člen postupnosti a označujeme ju a(n) alebo častejšie an.
Napr.: napíšeme prvých päť členov nekonečnej postupnosti : a: y = 7n – 5
Riešenie: n = 1 ® y = 7.1 – 5 = 2, n = 2 ® y = 7.2 – 5 = 9 atď.

Grafom postupnosti je množina navzájom izolovaných bodov (A1, A2, A3, ...), pričom An má súradnice [n, an], kde n Î N, an Î R. grafom konečnej postupnosti je konečná množina navzájom izolovaných bodov (A1, A2, A3, ..., An).

Napr.: znázornili sme prvých päť členov postupnosti (n/2)∞n=1 :





Rekurentné určenie postupnosti:
Vtedy je daný prvý člen postupnosti alebo niekoľko prvých členov postupnosti a pre ďalšie členy je daný predpis, ako určíme člen an + 1.

Postupnosti majú také isté vlastnosti ako funkcie, čiže:
a) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva rastúca, ak pre všetky n Î N platí an + 1 > an.
b) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva klesajúca, ak pre všetky n Î N platí an + 1 < an.
c) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva neklesajúca, ak pre všetky n platí an + 1 ≥ an.
d) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva nerastúca, ak pre všetky n platí an + 1 ≤ an.
e) postupnosti rastúce, neklesajúce, klesajúce a nerastúce sa súhrnne nazývajú monotónne postupnosti.
f) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva konštantná, ak pre všetky jej členy platí an + 1 = an.
g) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva zdola ohraničená, ak existuje také d Î R, že pre všetky jej členy platí an ≥ d.
h) postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva zhora ohraničená, ak existuje také číslo h Î R, že pre všetky jej členy platí an ≤ h.
i) postupnosť {an}∞n=1, ktorá je ohraničená zdola a zároveň zhora, sa nazýva ohraničená postupnosť.

ARITMETICKÁ A GEOMETRIKCÁ POSTUPNOSŤ:
Definícia: postupnosť {an}∞n=1 sa nazýva aritmetická, ak existuje také číslo d, že pre každé prirodzené číslo n platí an + 1 = an + d.