MATEMATICKÉ VETY A ICH DÔKAZY
Matematika ako exaktná veda je vybudované deduktívne. Budovať, rozvíjať teóriu znamená odhaľovať stále nové pravdivé tvrdenia o vlastnostiach základných pojmov a ďalších definovaných pojmoch. Pritom často postupujeme tak, že sformulujeme hypotézu, t. j. výrok, ktorého pravdivostnú hodnotu zatiaľ nepoznáme. Potom sa snažíme hypotézu dokázať. Dôkazom tvrdenia T rozumieme postupnosť logických úvah, ktoré ukazujú, že platnosť tvrdenia T logicky vyplýva z platnosti prijatých axióm (element. tvrdenia o vlastnostiach zákl. pojmov) a z tvrdení, ktoré už boli skôr dokázané. Ak stojíme pred problémom, ako dokázať dané tvrdenie T (výrok T) odporúča sa stratégia:
a) pokúsiť sa dokázať tvrdenie T priamo: pozostáva z konečného reťazca implikácií-
T1=> T2=>...=> Tn => T
-prvý člen je už dokázané tvrdenie, každé ďalšie je logickým dôsledkom predchádzajúcich, posledný člen je dokazované tvrdenie.
b) Nepriamy dôkaz tvrdenia T sporom: utvoríme negáciu ( T, T´) a keď dokážeme, že výrok T´ nie je pravdivý, vyplýva z neho pravdivosť tvrdenia T. Pri dôkaze sporom postupujeme takto-
- predpokladáme platnosť tvrdenia T´ a odvodzujeme z neho logické dôsledky tak dlho, až sa nám podarí odvodiť tvrdenie U, o kt. vieme, že je nepravdivé (pretože jeho neg. U´ už bola skôr dokázaná) Hovoríme, že sme dospeli k sporu.
- keby sme T´ pokladali za pravdivé, boli by v našej teórií dokázateľné 2 tvrdenia U a U´, a teda aj tvrdenie U∧U´, ktoré je nepravdivé.Teória by bola sporná = predpoklad pravdivosti T´ je nesprávny = T´ je nepravdivé tvrdenie = T je pravdivé.
c) Priamy dôkaz implikácie A => B: Predpokladáme, že tvrdenie A platí a nájdeme postupnosť implikácií začínajúcu tvrdením A a končiacu tvrdením B, v ktorej každý člen je log. dôsledkom predchádzajúcich tvrdení a axióm- skôr dokázaných tvrdení.
d) Nepriamy dôkaz implikácie A => B sporom: podobne ako b), predpokladáme platnosť tvrdenia (A=>B)´, ktoré je ekvivalent. s tvrdením A∧B´. Odvodzujeme dôsledky až dospejeme k sporu
e) Nepriamy dôkaz implikácie A => B pomocou obmeny: zakladá sa na skutočnosti, že A=>B a jej obmena B´=>A´ majú vždy rovnakú pravdivostnú hodnotu. To znamená, že namiesto imlikácie môžeme dokazovať jej obmenu, ak je to výhodnejšie. B´=> T1=> T2=>...=> Tn => A´
f) Dôkaz pomocou matematickej indukcie: používa sa na dôkaz tvrdení tvaru: Pre každé prirodzené číslo n platí T(n). Dôkaz pozostáva z 2 krokov:
1. krok- dokážeme platnosť tvrdenia T(1)- je to tvrdenie, ktoré vzniklo dosadením hodnoty n= 1 do výrokovej formy T(n)
2. krok- (indukčný)- dokážeme, že pre každé prirodzené číslo n z platnosti T(n) vyplýva platnosť tvrdenia T(n +1) Tým je dokázaná platnosť tvrdenia T(n) pre každé n N.
Filoména
Piatok, 27. decembra 2024
Zaujímavosti o referátoch
Ďaľšie referáty z kategórie
