Postupnosti (seminárna práca)

Seminárna práca

Meno:
Dátum:
Trieda:

Postupnosti

Z histórie:
Postupnosti nájdeme už u Archimeda v 3. stor. pred n. l., keď obsah kruhu počítal pomocou do kruhu vpísaných a opísaných pravidelných n-uholníkov (n = 6, 12, 18, 24, 48, 96).
V Euklidivých Základoch kniha 8 je venovaná geometrickým postupnostiam. Napríklad veta 8. 6 hovorí: ,,Ak v geometrickej postupnosti {an}nĄ = 1 , ktorej členy sú celé čísla, a1 nedelí a2, tak žiaden člen postupnosti {an}nĄ = 1 nedelí iný ďalší člen.

Pojem postupnosť:
Postupnosťou reálnych čísel rozumieme funkciu, ktorej definičným oborom je množina {l,2,..., k} pre niektoré prirodzené číslo k alebo celá ,množina prirodzených čísel.
Postupnosť, ktorej definičný obor je množina {l, 2, ..., k}, zapisujeme napríklad v tvare {an}nk = 1 a postupnosť, ktorej definičný obor je množina N, zapisujeme {an}nĄ = 1 . V prípade, že nezáleží na tom, či definičným oborom postupnosti je {l, 2, ..., k} alebo množina N, volíme zápis {an}.
Číslo, ktoré je v tejto postupnosti priradené číslu 1, označíme a1, číslu 2 je priradené a2 atď. Číslo a1 nazývame tiež prvým členom postupnosti {an}.,číslo a2 druhým členom postupnosti {an} atď.
Keďže postupnosť je špeciálna funkcia, na jej určenie musíme udať jej definičný obor a predpis, ako priradiť jednotlivým číslam definičného oboru funkčné hodnoty.

Spôsobov je niekoľko:
a) vymenovaním hodnôt, napríklad 2, 7, 10, 12 je skrátený zápis postupnosti, v ktorej a1 = 2,
a2 = 7, a3 = 10, a4 = 12 a definičný obor je množina {l, 2, 3,4} (v tomto prípade
hovoríme, že postupnosť je štvorčlenná),
b) udaním analytického predpisu, napríklad an = 2n, nÎ N je postupnosť,
ktorej prvé členy sú 2, 4, 8, 16, ...,
c) udaním rekurentného predpisu, napríklad a1= 5, an+1 = an + n + 1,
nÎ N je postupnosť, ktorej prvé členy sú 5, 7, 10, 14, ... .
Rôzne zápisy sú rôzne vhodné, a preto potrebujeme vedieť "prekladať" z jedného zápisu do druhého. Nasledujúci príklad nás naučí jednak prekladať, jednak nám ukáže, kde je ten ktorý typ určenia postupnosti výhodný.

Príklad:
Postupnosť {an}nĄ = 1 je daná rekurentne a1= 2, an+1= an + 3 . Nájdite jej analytické vyjadrenie.
Najprv napíšeme niekoľko prvých členov postupnosti.
Tvoríme ich podľa predpisu, že nasledujúci člen je o 3 väčší ako predchádzajúci:
2, 5, 8, 11, 14, 17, ...
Vidíme, že an = 3n - 1.
Postupnosti, podobne ako funkcie, vieme znázorniť aj graficky.
Graf postupnosti z príkladu vidíte na obrázku 3.

Prechod od rekurentného k analytickému nám aj často sa vyskytujúce úlohy o súčtoch členov postupností:
Príklad č.1:
Počítame: 1 + 2 + 3 + ... +k.
Označíme sk = 1 + 2 + 3 + ... + k
Pre postupnosť {sk}kĄ = 1 poznáme rekurentný vzťah sk+1 = s k + k + 1.
Príklad vyriešime, keď nájdeme pre postupnosť analytické vyjadrenie. Pomôžeme si dosadením do vzorca sk = k(k + 1) a dokážeme , že potom platí:

Vlastnosti postupností:

Monotónnosť:
Keďže postupnosti sú špeciálnym prípadom funkcií, môžeme rozmýšľať o rastúcosti či klesajúcosti postupnosti a tiež o ohraničenosti postupnosti. Funkcia f je rastúca ( klesajúca ), keď pre každé x 1 , x 2 Î D(f), pre ktoré x 1 a n.

Príklad:
Postupnosť {an} je klesajúca, ak pre každé n Î N ( pre ktoré má nerovnica zmysel) platí a n + 1 0 existuje n0 tak, že pre každé n> n0 je ď a n – bď