PREDMET: Elektrotechnika
TÉMA: Riešenie jednosmerných obvodov

ZADANIE ÚLOH: Riešte jednosmerný obvod zapojení podľa schémy metódou kirchhoffových zákonov, slučkových zákonov, uzlových napätí, metódou superpozicie a théreninovou vetou

Téma: Riešenie jednosmerných obvodov

Zadanie: Riešte jednosmerný obvod zapojení podľa schémy metódou:
1. Kirchhoffových zákonov
2. Slučkových zákonov
3. Uzlových napätí
4. Metódou superpozicie
5. Théreninovou vetou



Úloha č.1: Určte prúdy I1, I2, I3 v obvode znázornenom na obrázku č.1. Napätie zdrojov U1 = 2.1V, U2 = 1.8V vnútorné odpory zdrojov sú zanedbané.
Vo vetvách sú zapojené rezistory R1= 10 Ω , R2= 8 Ω , R3= 15 Ω , R4 = 12 Ω , R5= 35 Ω .
Úloha č.2: Určte napätie na svorkách deliča zaťaženého rezistorom Rz = 40 delič je zostavený s rezistorov s odpormi R1= 100 Ω , R2= 150 Ω , U = 200V a I2 = ?

Metóda Kirchhoffových zákonov
1. Kirchoffov zákon: Pojednáva o prúdoch v uzle elektrického obvodu bol definovaný v roku 1847 a umožňuje nám vypočítať veľkosť prúdu zo zadaných prvkov. Definícia – súčet prúdov do uzla vtekajúcich sa rovná súčtu prúdov z uzla vytekajúcich.
Algebraický súčet prúdov v uzle sa rovná 0

2. Kichhoffov zákon: Pojednáva o napätiach v slučke elektrického obvodu je zovšeobecnené ohmovho zákona pre uzatvorením el. obvodu.  Definícia – v ľubovoľnom uzavretom el. obvode je algebraický súčet úbytkom napätí rovný algebraickému súčtu vnútorných napätí zdrojov.
Algebraický súčet všetkých napätí v slučke el. obvodu sa rovná 0

Postup:
1. Nakreslíme obvod
2. Vyznačíme polaritu zdrojov
3. Šípkou vyznačíme smer prúdov
4. Vyznačíme sčítaciu slučku
5. Napätie zdroja dosadíme kladné vtedy, keď je smer napätia zhodný so smerom sčítacej

slučky

- I2 R4 + U2 – I2 R2 – I3 R3 = 0
- U1 + I1 R5 + I3 R3 + I1 R1 = 0
- 12 I2 + 1,8 – 8 I2 – 15 I1 – 15I2 = 0
- 2,1 + 35 I1 + 15I1 + 15 I2 + 10 I1 = 0
- 15 I1 - 35 I2 = -1,8 /. 4
60 I1 + 15 I2 = 2,1 I1= 2,1 - 15 I2 = 2,1 - 15 . 0,0408 = 0,0248 A = 24,8 mA
- 60 I1 - 140 I2 = -7,2 60 60
60 I1 + 15 I2 = 2,1 I3 = I1 + I2 = 0,0408 + 0,0248 = 0,0656 = 65 mA
- 125 I2 = - 5,1
I2 = 0,0408 A = 40,8 mA

I1 = 0,0248 A
I2 = 0,0408 A
I3 = 0,0656 A

Metóda slučkových prúdov
V tejto časti si ukážeme metódu riešenia obvodu, ktorá je v podstate upravenou metódou uzlových a slučkových rovníc. Zjednodušene spočíva v tom, že riešime len slučkové rovnice. metóda je vhodná vtedy, ak počet nezávislých slučiek s je menší alebo rovnaký ako počet nezávislých uzlov. Predpokladáme, že celou slučkou preteká slučkový (Maxwellov) prúd. Všetky prúcy vetiev, ktoré sú vnútri jednej slučky, tvoria slučkový prúd. Pri riešení berieme do úvahy len tie slučky, cez ktoré neprechádza nijaká iná vetvy. Počet potrebných rovníc je daný počtom slučiek.

Postup:
1. Nakreslíme schému
2. Šípkou vyznačíme smery prúdov
3. Vyznačíme slučky prúdov
4. Do každej vetvy, ktorá je spoločná pre dve slučky, tečú obidva slučkové prúdy
5. Napíšeme rovnice pre slučky
6. Riešime sústavu rovníc
7. Určime skutočné prúdy

U2 + IA R2 + R3 (IA – IB) + IA R4 = 0
- U1 IB R5 + R3 (IB – IA) + IB R1 = 0
1,8 + 8IA + 15IA - 15IB + 12IA = 0
- 2,1 + 35IB + 15IB – 15IA + 10IB = 0
35IA - 15IB = 1,8 / .4
- 15IA + 60IB = 2,1 IB = 15IA +2,1 = 15 . 0,0408 + 2,1 = 0,0248A = 24,8mA
140IA - 60IB = -7,2 60 60
- 15IA + 60IB = 2,1 I1 = 0,0248 A
125IA = - 5,1 I2 = 0,0408 A
IA = - 0,0408 A = - 40,8 mA I3 = IB - IA = 0,0248 – (- 0,0408) = 0,0656 A

I1 = 0,0248 A
I2 = 0,0408 A
I3 = 0,0656 A

Metóda uzlových napätí
Pri tejto metóde postupujeme nasledovne: Vypočítame hodnotu uzlového napätia pomocou 1. KZ. Pomocou hodnoty uzlového napätia stanovené hodnoty jednotlivých prúdov

Postup:
1. Zvolíme referenčný uzol tam, kde sa stýka najväčší počet členov obvodu (ak máme viac takýchto uzlov zvolíme si ten, kde je jeden pól zdroja)
2. Zostavíme rovnice pre prúdy v uzle
3. Riešime sústavu rovníc

U1 - UA + U2 - UA - UA = 0 I1 = U1 - UA = 2,1 - 0,984 = 0,0248 A R1 + R5 R2 + R4 R3 R1 + R5 10 + 35
2,1 - UA + 1,8 - UA - UA = 0 I2 = U2 - UA = 1,8 - 0,984 = 0,0408 A
10 + 35 8 + 12 15 R1 + R5 8 + 12
2,1 - UA + 1,8 - UA - UA = 0 / .180 I3 = UA = 0,984 = 0,0656 A
45 20 15 R3 15

4 . (2,1 – UA) + 9 . (1,8 – UA) = 0

8,4 - 4UA + 16,2 - 9UA - 12UA = 0
24,6 - 25UA = 0 I1 = 0,0248 A
25UA = 24,6 I2 = 0,0408 A

UA = 24,6 = 0,984 V I3 = 0,0656 A
25

Metóda superpozície
Poučka o superpozícii: V obvode s viacerými zdrojmi môžeme brať do úvahy pôsobenie každého zdroja samostatne. Výsledné prúdy, ktoré pretekajú jednotlivými vetvami, sú algebrickým súčtom čiastkových prúdov, ktoré vyvolávajú jednotlivé zdroje. Túto zákonitosť objavil Hermann Ludwig Ferdinand von Helmoholtz a môžeme je formulovať takto „Prúd vo vetve elektrického obvodu, ktorý obsahuje ľubovoľný počet zdrojov, je daný súčtom čiastkových prúdov, ktoré vznikli od jednolivých zdrojov.“

Čiastkové prúdy v jednotlivých vetvách vypočítame tak, že vnútorné napätie zdrojov okrem jedného považujeme za nulové. Napäťový zdroj vyradíme zo schémy a jeho ideálnu časť nahradíme spojením nakrátko. V obvode ponecháme len jeho vnútorný odpor. Prúdový zdroj zasa vyradíme tak, že jeho ideálnu časť odpojíme a vnútorný odpor (vodivosť) ponecháme.

Postup: vypočítame čiastkové Prusy od každého zdroja osobitne a potom spočítame Prusy od jednotlivých zdrojov.

IA = U1 = 2,1 = 0,0392 A
RA + RB R3 45 + 20 . 15
RB+ R3 20 + 15

RBI3 = R3 I3 IB = IA - I3 = 0,0392 - 0,0224 = 0,0168 A
RB (IA - I3 ) = R3 I3
20 IA - 20 I3 = 15 I3
I3 = 20 IA = 20 . 0,0392 = 0,0224 A
35 35

IB = U2 = 1,8 = 0,0576 A
RB + RA R3 20 + 45 . 15
RA + R3 45 + 15

RA IA = R3 I3 IA = IB - I3 = 0,0576 - 0,0432 = 0,0144 A
RA ( IB - I3 ) = R3 I3
45 IB - 45 I3 = 1 I3
I3 = 45 I3 = 45 . 0,0576 = 0,0432 A
60 60

IA = IA - IA = 0,0392 - 0,0144 = 0,0248 A I1 = 0,0248 A
IB = IB - IB = 0,576 - 0,0168 = 0,0408 A I2 = 0,0408 A
I3 = I3 + I3 = 0,0224 + 0,0432 = 0,0656 A I3 = 0,0656 A

Metóda Náhradného napäťového zdroja
(Théveninova veta)
Théveninova poučka (náhradný napäťový zdroj): Théveninova poučka (tiež Helmholtzova veta) umožňuje prostredníctvom náhradného napäťového zdroja vypočítať jednoduchým spôsobom prúd v jednej vetve obvodu.
Princíp metódy. Vetvu, v ktorej chceme vypočítať prúd, vyčleníme z obvodu. Zvyšujúcu časť obvodu považujeme za náhradný zdroj s určitým náhradným vnútorným odporom. Na základe uvedenej úvahy môžeme vysloviť Théveninovu poučku: Ak v lineárnej sieti pôsobí jediný zdroj, možno prúd I tečúci spotrebičom R vyjadriť ako prúd vyvolaný zdrojom s vnútorným napätím Uv a vnútorným odporom Rv, pričom skutočný zdroj je nahradený len svojím vnútorným odporom.

Postup:
1. Vetvu, kde chceme počítať prúd vyčleníme z obvodu a zvyšnú časť obvodu považujeme za náhradný zdroj
2. Vypočítame vnútorne napätie a odpor zdroja z pôvodného obvodu
3. Dosadíme do rovnice a vypočítame

U0 = Rz . U = 150 . 200 = 120 V
R1 + R2 100 + 150

RI = R1 . R2 = 100 . 150 = 60 Ω
R1 + R2 100 + 150

I = U0 = _ 120 _ = 1,2 A
RI + Rz 60 + 40

Uz = Uo – Ri I = 120 – 60 1,2 = 120 – 72 = 48 V

Záver
Všetky štyri riešenia vyšli rovnako, no z hľadiska obtiažnosti rátania jednoduchého jednosmerného obvodu by som si jednoznačne vybral metódu slučkových prúdov, v ktorej platí - koľko slučiek - toľko rovníc.  Z časovej zdĺhavosti by som neodporúčal riešenie obvodu pomocou superpozície, ktorá síce nie je ťažká, ale je zdĺhavá. Riešenie Kirchhoffovmi zákonmi je pomerne ľahké dovtedy pokiaľ jednosmerný obvod nie je veľmi rozvetvený. Metóda uzlových napätí je tak ako metóda uzlových prúdov nenáročná na čas a ani na trápenie hlavy. Théveninovou vetou som jednoducho vypočítal prúd v jednej vete obvodu pomocou náhradného napäťového zdroja.

A na záver. Tieto metódy, ktorými som počítal sa dajú veľmi dobre uplatniť v praxi.  Nie každá je vhodná na každý obvod, treba si vhodne zvoliť metódu.