Algebraicke struktury- zobrazenie- mnoz A do mnoz B je podmnoz P kart. Sucinu AxB mnozin A,B s vlastn.:1, ku kazdemu a z A existuje b z B tak, ze usporiadana dvojica (a,b) z FI, 2, ak (a,b1) z FI a (a,b2) z FI tak b1=b2, injekcia-zobrazenie A->B, ak pre vsetky a1,a2 z A plati a1 nerovnasa a2, potom a1FI nerovnasa a2FI, roznym vzorom zodpovedaju rozne obrazy. Surjekcia- zobrazenie A->B, ak ku kazdemu b z B existuje a z A, tak ze (a,b)z FI ((a,b)z FI  aFI=b). Bijekcia- sucasne inj a sur. Binarna operacia- nech A je nepr. Mnozina, bin.op na mn.A je pravidlo ktore priraduje kazdej usp.dvojici (a,b) z AxA prvok aob z A.vlastnosti BO- 1komutativnost (aob=boa), 2asociativnost – ao(boc)=(aob)oc, 3neutralny prvok – aoe=eoa=a 4inverzny prvok, aoa’=a’oa=e, grupoid- uspo. Dvojica (G,o), G- neprazdna mnozina a o je BO na mnozine G, grupa-je asociat, grupoid s neutralnym prvkom, v ktorom ku kazdemu prvku ex. Inv prvok. Pole- algebraicka struktura (P,+,*) s dvomi BO, pricom plati: 1,(P,+), kom. Grupa s neutralnym prvkom 0, 2,(P-{0},o) komut grupa, 3, pre kazde a,b,c z P plati ao(b+d)=(aob)+(aoc), (b+c)oa=(boc)+(coa)

Polynomy- nech (T,+,*) je kom. Teleso, Pre x z T a cele cislo n=>0, oznacme vyraz x*x*…*x strucne ako x^n. Nech a0,a1..an z T su nejake prvky,potom zobraz pn: T->T, ktore kazdemu x z T priradi hodnotu pn(x)=a0+(a1*x)…+(an*x^n). nazyvame polynomom nad telesom T. Koren- nech pn(x) = a0+a1x+anx^n je P nad cis telesom T, hovorime, ze cislo je korenom (nul bodom) polynomu pn(x), ak pn(c)=0 zakl.veta algebri-kazdy P stupna aspom prveho s komplexnymi koef, ma v telese kompl cisel aspom jeden koren, K-nasob koren- ak pn(X)=(x-c)^k.qn-k(x), kde qn-k(x) je polynom stupna n-k a qn-k (C) je nerovne nule, hovorime ze c je knasobnym korenom polynomu. Reducibilita- polynom p(x) majuci koef z telesa T sa nazyva reducibilny nad tel T ak exis polynomy p1(x), p2(x) stupna aspom prveho take, ze p(x)=p1(x).p2(x). V opacnom pripade hovorime,ze polynom p(x),je ireducibilny nad tel T. hornerova schema – pre pol pn(x)=a0+a1x^1+…anx^n nad tel C a lub c z C plati pn(x)=pn(c)+(x-c).qn-1(x), kde qn-1(x)=b0+b1x+b2x^n+…+bn-1x^n-1 vzorce: bn-1=an; bn-2=an-1+cbn-1; b0=a1+cb1; pn(c)a0+cb0. Vyuzitie-1, urci funkcnu hodnotu polyn pre lub cislo C, 2.

urci ci cislo c je koren polynomu 3, najde taylorov rozvoj polynomu okolo bodu c 4, urci nasobnost korena c

Linearny priestor- Nexh (L,+) je komut grupa, P=(P,+,*) je pole a nech * je BO, ktora kazdemu prvku p z P a kazd prvku l z L priradi prvok p*I z L. mnozinu L s op + a * nazyvame LP nad P ak plati 1,p1*(p2*l)=(p1*p2)*l 2,(p1+p2)*l=(p1*l)+(p2*l) 3,p*(l1+l2)=(p*l1)+(p*l2) 4, 1p*l=l. aritmet LP- nech P=(P,+,*) je pole a nech na mnozine P^n su def operacie +,* vztahni 1, + (a1…an) + (b1…bn) = (a1+b1, an+bn) 2, * p*(a1…an)=(p*a1…p*an), potom L=(P^n,+,*), je LP nad polom P, ktory sa naziva ALP. Vlastnosti LP- nech (L,+,*) je LP nad telesom (P,+,*). 1, ex prave jeden prvok o z L ze a+o=o+a=o pre a z L, 2. ak pre x,y,z L je x+y=x+z potom y=z, 3, pre kazdy prvok x z V existuje prave jeden prvok –x z V taky ze x + (-x)=0 4, ak x,y,z z L a x+y=z potom x=z+(-y), 5, pre vsetky x z L a lambda z T, je 0+x=lambda *o=o, kde 0 je nulovy prvok telesa T, 6, pre jednotkovy prvok 1T teleasa T a kazdy prvok x z V je –x=(-1T)*x, 7, ak lambda*x=o potom lambda=0 alebo x=o, Lin zavislost a nezav- hovorime, ze prvky l1…ln z L su LN ak rovnica p1.l1+…+pn.ln=0 … p1=p2=pn=0, ak exis aspom 1 koeficient pi nerovny – a je splnena rovnica p1l1+…+pnln=0 tak l1…ln su LZ, Baza- mnozina B ( L sa nazyva baza LP L=(L,+,*) nad polom P=(P,+,*) ak ma tieto 2 vlastnosti 1, B je LN mnozina 2, kazdy prvok I z L sa da vyjadrit ako Lin kombinacia prvkov bazy, Dimenzia- ak mnozina B je konecna, cislo ktore udava pocet prvkov mnoziny B je dimenzia. Lin Podpriestor- LP (L1,+1,*1) nad tel T nazyvame LPP LP (L2,+2,*2) nad telesom T ak L1 ( L2 a pre vsetky u,w z V1 a pre vsetky p z P plati 1, v+1w=v+2w 2, t+1v=t*2v. Matice a determinanty, Matica- obdl schema mxn prvkov podla pola P usporiadanych do m riadkov a n stlpcov. Specialne matice- 1, ak m=n tak hovorime o stvor. matici radu n 2, ak aij=0 pre vsetky i=1…m j=1..n, hovorime o nulovej matici oznacime ju Omn. 3,ak v stvor matici radu n je aij=0 pre vsetky i nerovne j, i, j = 1,2…n hovorime o diagonalnej matici, 4, ak v stvor, matici radu n je aii=1 pre vsetky i=1,2…n a aij=0 pre vsetky i nerovne j, i,j=1,2…n hovorime o jednotkovej matici, znacime ju En. 5, ak v stvor matici radu n je aij=0 pre vsetky i>j i,j =1,2..n, hovorime o hornej trojuh matici ak aij=0 pre vsetky i
Skalarny nasobok matice – A=(aij) typu mxn cislom alpha z R rozumieme mat B=(bij) typu mxn kde ij=alpha x aij. Skalarny sucin matic nieje komutativny.
Zakony matic- A(BD)=(AB)D, 2, (B+C)D=BD+CD, 3, A(B+C)= AB+AC, 4, alpha(betaA)=(alphabeta)A 5,alpha(AB)=(alphaA)B, 6, EmA=A=AEn 7, Omn+a=A=A+Omn 8, OmnB=Omp, BOpr=Onr. Determinant nech A je stvorc matica stupna n na polom P, Determinantom|A| z P tejto matice nazveme sucet |A|= Suma (-1) ^i(FI) a1,1FI...anFIn (pod tym je FI z P(M).. vlastnosti DET- 1, det A= det A^T 2, ak matica B vznikne z mat A vymenov 2 riadkov potom det mat B sa rovna –detB 3, ak matica B vznikne z mat A vynasobenim lubovolneho riadku mat A skalarom c, potom det B=c.det A 4, pricitanim lubovolnej lin komb ostatnych riadkov k lub riadku sa hodnota determinantu nezmeni, 5, ak su riadky mat A LZ , potom det A=0, 6, vzhladom na bod 1 uvedene tvrdenia platia aj pre stlpce mat A. veducim prvkom riadku matice nazyvame jeho prvy nenulovy riadok, zredukovana trojuholnikova matica- hovorime ze matica a=||aij|| je rtm ak plati: 1, veduci prvok kazdeho riadku je 1, 2, kazdy stlpec, kt obsahuje veduci prvok niektoreho riadku ma vsetky ostatne prvky nulove 3, ak aij, ars su veduce prvky nejakych riadkov a ak i

Zdroje:

Doc. RNDr. Milan Mikola, CSc. -
zosit :) -

	Tento článok bol vytlačený zo stránky https://referaty.centrum.sk

Matematika Algebra, Algebraicke struktury, Polynomy, Linearny priestor, Matice a determinanty