1.Veta o delený zo zvyškom ak n є N, tak existujú jednoznačne určené čísla q,r єZ, že platí n=q.m+r a 0≤v< m
Dôkaz {k;k.m≤n} 0≤{k;k.m≤n} - ohraničená množina
q= max{k;km≤n} => qє{k;km≤n}=>q.m≤n=>n=q.m+r
môže nastať r≥m=>r=m+r1≥0
n=qm+m+r1=(q+1)m≤n spor s maximál. q
rє{0,...,m}
nech n=q1m+r1 0≤r1 n=q2m+r2 0≤r2q1m+r1-q2m+r2 ak q1>q2=>q1≥q2+1=>
q1m+r1≥(q2+1)m+r2=q2m+m+r1≥q2m+m>q2.m1+r2
nech q1≠q2
q1>q2=>q1>q2+1Vq1m>(q2+1).m=>n-q1m+r≥(q2+1)m=
=q2m+m+r1≥q2m+m>q2m+r2-n n>n / spor.
Q1-q2=>q1m=q2m
r1=r2
2. Princíp mat. indukcie
V(n) V(n) =>V(n+1)
V(1) V(1) =>V(2) =>V(3)
Nech n0 je najmenšie prir. Číslo, že V(n0)- neplatí
V(n0-1) to platí
V(n0-1) =>V(n0+0)
3. Deliteľnosť Ak a,b єZ tak hovoríme, že a je delitelom b <=> kєZ i b=k.a
Nech A,B,CєZ potom
a)ak a/b Λ b/c =>a/c
b)ak a/b Λ a/c =>a/b+c
c)ak a/b Λ b/a=>a= ±b
Dôkaz
a)a/b=>b=k.a
b/c=>c=k´.b c=k.k´.a, c=k´´.a =>a/c
b)b=k.a c=k1.a b+c=k.a+k1.a=(k+k1).a=>a/b+c
c)a/b=>b=k.a
b/a=>a=k2.b
b=k.k2.b
b=0=>a=0 0=±0
b≠0=>1=k.k2 k=±1;k=±1
a=±b
Prvočísla=>priamkové čísla, zlé zlomky
def.číslo nєN nazyvame prvočíslom <=>p>1~ d/p=>d=1 v d=p
Prvočíslo je číslo ktoré je deliteľ sám so sebou alebo 1. Existuje ich nekonečne veľa.
V1nech nєN a n >1, potom mini{d,d>1^ d/h}je prvočíslo. Dôk. Nech p=min{d;d>1^d/h} p=najmenší netrivialny delitel, nech p nieje prvočíslom potom existuje d>1;dd/n
Spor s minimalitou p
V2 existuje nekonečne veľa prvočísel
Dôk. nech p1,...,pn; sú prvočísla
A=p1,p2,...,pn+1
P=min{d,dІA ^d>1} =>p je prvočíslo pІp1,p2,...pn+1
Ak by p=p1=>p1Іp1,p2,...pn+1- p1...pn=1- spor.
p≠p1,p2,...,pn
5.