Elipsa a parabola v analitickej geometrii

• Elipsa: Je množina bodov v rovine, ktoré majú konštantný súčet vzdialeností od 2 pevných bodov F1, F2 označený 2a.

F1, F2 - ohniská elipsy
S - stred elipsy
A,B - hlavné vrcholy
C,D - vedľajšie vrcholy
a - hlavná poloos (veľká poloos) elipsy ...... a = =
b - vedľajšia (malá) poloos elipsy ............... b = =
e - excentricita = výstrednosť elipsy ........... e = =
- hlavná (veľká) os elipsy
platí: a2=e2+b2 - vedľajšia (malá) os elipsy

Analitické vyjadrenie elipsy:

• ak hlavná poloos a je rovnobežná s osou x; (a x) b) ak hlavná poloos a je rovnobežná s osou y; (a y)
  S[0,0] ....... + = 1S[0,0] ........ + = 1
  S[m,n] ...... + = 1S[m,n] ...... + = 1
• Všeobecný tvar rovnice elipsy:
  Ax+By+Cx+Dy+E=0; A>0 B>0 A B
  v(x,y)=0 - bod leží na elipse
  v(x,y)>0 - bod je z vonkajšieho prostredia elipsy
  v(x,y)0 - bod je z vonkajšieho prostredia paraboly
  v(x,y)vznikne kvadratická rovnica:
  D=0 => rovnica má jediný koreň - priamka je dotyčnica.
  D>0 => rovnica má dva korene - priamka je sečnica.
  D rovnica nemá riešenie - priamka je nečnicou.

Priamka a parabola:

1. nesečnica - žiadny spoločný bod
2. sečnica v dvoch bodoch - 2 spoločné body 
3. sečnica v jednom bode - jeden spoločný bod a je rovnobežná s osou paraboly
4. doryčnica - jeden spoločný bod a neobsahuje žiadny vnútorný bod paraboly

Vzájomnú polohu priamky a paraboly hľadáme riešením sústavy rovníc. Sústavy riešime dosadzovacou metódou =>vznikne kvadratická rovnica:

D=0 =>dotyčnica, sečnica v jednom bode
D>0 => sečnica
D neseènica

• Dotyčnica, využitie geometrického významu derivácie: Derivácia funkcie f v bode x0 je smernicou k dotyčnice ku grafu funkcie v dotykovom bode T[x0, f(x0)]

Príklad: Určte smernicu dotyčnice ku krivke v danom bode.
+ = 1 ; T[6,yT]
=64 => y=
q=10q= -10