Leonhard Euler životopis

narodený: 15. apríľa 1707 v Bazileji , Švajčiarsko
zomrel:: 18. septembra 1783 v St. Petersburgu, Rusko
Leohnard Euler bol synom Paula Eulera, ktorý študoval teológiu na Univerzite v Bazileji a navštevoval tu prednášky Jacoba Bernoulliho, u ktorého Paul Euler a Johann Bernoulli cez štúdia v Bazileji bývali. Paul Euler sa stal protestantským kňazom a oženil sa s Margaret Bruckerovou, dcérou protestantského kňaza. Ich syn Leonhard sa narodil v Bazileji, ale rodina sa presťahovala do Riehenu neďaleko Bazileji, kde Leonhard vyrastal. Paul Euler mal určité matematické vzdelanie a svojho syna učil okrem iných predmetov aj základom matematiky. Leonhard potom začal chodiť do školy v Bazileji a býval u svojej babičky z matkinej strany. Škola ale bola chudobná a Euler sa v tej dobe nenaučil z matematiky nič nové. Ale záujem o matematiku u neho neustále rástol vďaka základom, které získal od svojho otca. Leonhard začal študovať matematické texty a chodil na súkromé hodiny matematiky. Eulerov otec chcel, aby Leonhard študoval na Univerzite v Bazileji za kňaza. Leonhard v roku 1720 vo veku 14 rokov preto začal študovať na Univerzite, kde mal najprv získať všeobecné vzdelanie. Johann Bernoulli rýchlo objavil Eulerov talent pre matematiku a poskytoval mu súkromné lekcie. Leonhard Euler neskôr o svojom učiteľovi napísal, že síce bol veľmi zaneprázdneny a občas súkromné lekcie zrušil, ale poskytol mu potrebné základy pre vlastné štúdium obtiažných matematických kníh. V roku 1723 sa Leonhard Euler stal magistrom filozofie za svoju prácu, v ktorej porovnal filozofické názory a myšlienky Descarta a Newtona. V jeseni roku 1723 začal študovať teológiu podľa otcovho priania. Aj keď po celý život bol oddaným kresťanom, pre štúdium teológie, gréčtiny a hebrejčiny nenašiel potrebné nadšenie, ktoré mal pre matematiku. Johann Bernoulli presvedčil Eulerovho otca, aby sa Leonhard mohol venovať matematike. Leonhard Euler dokončil štúdium na Univerzite v Bazileji v roku 1726. Behom svojho štúdia prostudoval radu matematických prác Varignona, Descarta, Newtona, Galilea, von Schootena, Jacoba Bernoulliho, Hermanna, Taylora a Wallisa. V roku 1726 publikoval svoj krátký článok o izochorických krivkách v médiu kladúcom odpor. V roke 1727 Euler publikoval ďalší článok o recipročných trajektóriach a poslal Parížskej akadémii svoje riešenie problému nejlepšieho umiestnenia stožiarov na lodi, na který akadémie vypísala Veľkú cenu.

Cenu Parížskej akadémie získal Bouguer, odborník zaoberajúci sa matematikou lodných konštrukcií. Druhé miesto získala Eulerova práca. Keď v roku 1726 zomrel Nicolaus Bernoulli, Euler dostal ponuku na uvoľnené miesto v St. Petersburgu a začal vyučovať aplikácie matematiky a mechaniky vo fyziológii. Miesto získal síce v novembri 1726, ale rozhodol sa odcestovať do Ruska až v jari. Jedným z dôvodov bolo, že si chcel vopred preštudovať tému, ktorú mal prednášat. Druhým dôvodom bolo, že sa usiloval o získanie miesta profesora fyziky na Univerzite v Bazileji, ktoré sa tu uvoľnilo. Euler napísal článok o akustike, ale na miesto v Bazileji nebol vybraný, pretože mal príliš nízky vek. Keď sa Euler dozvedel, že na miesto profesora fyziky nebol menovaný, 5. apríľa 1727 z Bazileji odišiel. Cestoval loďou dole po Rýne, hranicu nemeckého štátu prekročil v poštovnom vagóne, potom cestoval loďou z Lübecku a do St. Petersburgu prišiel 17. Mája 1727. Členom Akadémie vied v St. Petersburgu sa stal dva roky po jej založení Katarínou I., manželkou Petra Veľkého. Na základe žiadostí Daniela Bernoulliho a Jakoba Hermanna bol Euler menovaný do matematicko-fyzikálneho oddelenia Akadémie namiesto do pôvodne ponúknutého oddelenia fyziológie.
V rokoch 1727 až 1730 Euler slúžil ako poručík zdravotnej služby ruského námorníctva. V St. Petersburgu sa Euler stretával s Danielem Bernoullim, ktorý tu tiež nebol spokojný a vozil Eulerovi čaj, kávu, brandy a ďalšie lahôdky zo Švajčiarska. V roku 1730 sa Euler stal profesorom fyziky na Akadémii vied a vďaka tomu sa mohol stať riadnym členom akadémie,čo mu umožnilo odísť zo služieb ruského námorníctva. V roku 1733 sa Daniel Bernoulli rozhodl odísť z Ruska späť do Bazileji a Euler po nom prevzal uvoľnené miesto matematika v Akadémii. Vyšší finančný príjem mu umožnil, aby sa oženil 7. januára 1734 s Katharinou Gsellovou, dcérou maliara z gymnázia v St. Petersburgu. Katharina Gsellová, podobne ako Euler, pochádzala zo švajčiarskej rodiny. Behom ich manželstva mali trinásť detí, ale iba pät z nich sa dožilo dospelosti. Euler neskôr uviedol, že niektoré zo svojich najväčších objavov urobil s dieťaťom v náručí a ďalšími deťmi okolo seba. Po roku 1730 sa Leonhard Euler zaoberal kartografiou, vedeckým vzdelávaním, magnetizmom, mechanickými strojmi a stavbou lodí. Jadrom jeho vedeckého záujmu bola ale teória čísel, diferenciálne rovnice, variačný počet a racionálna mechanika. Všetky tieto oblasti Euler chápal v tesných súvislostiach.

Štúdium čísel považoval za základ počítania, špeciálne funkcie a diferenciálne rovnice za základ racionálnej mechaniky, ktorá slúži pre riešenie konkrétnych problémov. V rokoch 1736 až 1737 Leonhard Euler publikoval veľa článkov a knihu "Mechanica", ktorá popisovala Newtonovou dynamiku pomocou matematickej analýzy. V roce 1735 ale Eulera postihly vážné zdravotní problémy, které ho poznamenaly po zbytek života. Ve své autobiografii Euler napsal, že jeho problémy se zrakem začaly v roce 1738. Euler musel zanechat kartografických prací, protože oslepl na jedno oko a zrak druhého oka měl ohrožen. Calinger ale uvádí, že Eulerovy problémy se zrakem začaly po vážné horečce v roce 1735, která byla zřejmě příznakem přílišného namáhání zraku. Portrét Eulera z roku 1753 naznačuje, že jeho pravé oko bylo v té době v pořádku, ale levé oko bylo silně krátkozraké. Calinger také uvádí, že Euler na levé oko oslepl nikoliv kvůli nadměrné námaze, ale kvůli šedému zákalu. V roce 1740 Euler dosáhl značného věhlasu poté, co v roce 1738 a v roce 1740 vyhrál Velkou cenu Pařížské akademie. V obou případech se o první místo dělil s dalšími vítězi. Díky svému věhlasu Euler dostal nabídku z Berlína, ale rozhodl se zůstat v St. Petersburgu. Politická situace v Rusku ale postavení cizinců značně ohrozila a Euler své mínění změnil. Vědeckou společnost v Berlíně měla nahradit nově vznikající Akademie věd. Euler přijal pozvání a 19. června 1741 opustil St. Petersburg a do Berlína dorazil 25. července. V Berlíně Euler pobíral také část platu z Ruska. Euler v Berlíně nakupoval vědecké knihy a přístroje pro Akademii v St. Petersburgu, pokračoval ve své vědecké práci a vzdělával mladé Rusy. V roce 1744 byla v Berlíně založena Akademie věd a Maupertuis se stal jejím prvním prezidentem. Euler byl jmenován ředitelem oddělení matematiky. V době nepřítomnosti Maupertuise ho Euler zastupoval a oba matematikové se brzy stali přáteli. Euler v Akademii věd nepůsobil pouze jako ředitel oddělení matematiky, ale staral se také o observatoř, botanickou zahradu, přijímal nové zaměstnance a dohlížel na publikování různých kalendářů a geografických map, jejichž prodej byl jedním ze zdrojů příjmu Akademie. Král pověřil Eulera také některými praktickými úkoly, jako byl v roce 1749 projekt úpravy říčního kanálu Finow. Euler v té době dohlížel na provoz čerpadel a potrubí hydraulického systému v Sans Sourci, kde bylo letní královské sídlo. Euler také řídil výbor Akademie pro knihovnu a vědecké publikace. Dále pracoval jako poradce vlády pro státní loterie, pojištění, úroky, důchody a dělostřelectvo. Během 25 let působení v Berlíně Leonhard Euler napsal kolem 380 článků.

Napsal knihy o variačním počtu, o výpočtech drah planet, o dělostřelectvu a balistice, o analýze, o stavbě lodí, o námořní navigaci, o pohybu Měsíce. Dále napsal přednášky o diferenciálním počtu a v letech 1768 až 1772 populárně vědeckou knihu ve třech svazcích "Dopisy princezně Německa". V roce 1759 Maupertuis zemřel a Euler fakticky převzal vedení Akademie věd, ale nebyl jmenován prezidentem. Euler v té době u krále Fredericka nebyl v oblibě, navzdory Eulerovým předchozím zásluhám. V roce 1763 král nabídl funkci prezidenta Akademie d'Alembertovi, který ale nechtěl odejít do Berlína. Eulerovy spory s králem pokračovaly a Euler se rozhodl z Berlína odejít. V roce 1766 Euler odejel do St. Petersburgu, což krále značně rozlobilo. Krátce po svém návratu do St. Petersburgu Euler po nemoci zcela oslepl. V roce 1771 Eulerův dům byl zničen požárem a Euler zachránil holý život a své matematické rukopisy. V roce 1771 se Euler podrobil operaci šedého zákalu, ale protože neměl dostatečnou zdravotní péči, znovu oslepl. Díky své výjimečné paměti Euler pokračoval ve své práci zabývající se optikou, algebrou a pohybem Měsíce. Je neuvěřitelné, že téměř polovinu své vědecké práce Euler vytvořil po svém návratu do St. Petersburgu, ikdyž byl slepý. Euler by samozřejmě nemohl nikdy dosáhnout takových výsledků, nebýt pomoci jeho synů a členů akademie. Johann Albrecht Euler získal v roce 1776 místo fyzika na Akademii, a Christoph Euler působil v ruské armádě. Eulerovi dále pomáhali dva členové Akademie, W.L. Krafft a A.J. Lexell, a mladý matematik N. Fuss, který byl v roce 1772 Eulerem pozván do Švýcarska. Vědci, kteří Eulerovi pomáhali, nebyli pouhými asistenty, ale diskutovali s Eulerem o obecném schématu jeho práce a rozvíjeli jeho myšlenky, počítali tabulky a někdy připravovali příklady. N. Fuss pomohl Eulerovi během sedmi let připravit více než 250 článků pro publikování, včetně Eulerovi důležité práce o pojišťování, která byla publikována v roce 1776. 18. září 1783 Euler strávil první polovinu dne jako obvykle. Věnoval hodinu matematiky jednomu ze svých vnoučat, provedl několik výpočtů o pohybu balónů křídou na dvou tabulích, pak diskutoval s Lexellem a Fussem o nedávném objevu planety Uran. Kolem páté hodiny odpoledne ho postihlo krvácení do mozku a řekl jen "umírám", než ztratil vědomí. Zemřel kolem jedenácté hodiny večer. Po Eulerově smrti v roce 1783 Akademie v St. Petersburgu publikovala Eulerovy dosud nepublikované práce zhruba ještě dalších padesát let. Eulerova celoživotní práce je velice rozsáhlá a nelze ji v krátkosti shrnout. Euler byl nejproduktivnějším autorem textů z matematiky všech dob.

Posunul hranice studia analytické geometrie a trigonometrie, kde jako první zavedl funkce sinus, cosinus a další. Euler sjednotil Leibnizův diferenciální počet a Newtonovu metodu fluxonů do matematické analýzy. Zavedl beta a gama funkci a integrační faktor diferenciálních rovnic. Studoval mechaniku kontinua, s Clairautem lunární teorii, problém tří těles, pružnost, akustiku, vlnovou teorii světla, hydrauliku a hudbu. Je zakladatelem analytické mechaniky díky své práci "Teorie pohybu pevných těles" z roku 1765. V roce 1734 Euler zavedl zápis funkce f(x), v roce 1727 zavedl základ přirozených logaritmů e, v roce 1777 imaginární jednotku i pro odmocninu z -1, v roce 1755 číslo pí a symbol pro součet řady. Dále zavedl označení pro první a druhou diferenci a řadu dalších symbolů. Eulerova teorie čísel byla zřejmě motivována Goldbachem, ale zájem o tuto teorii u Eulera probudil Bernoulli. V roce 1729 se Goldbach dotázal Eulera, zda zná Fermatovu domněnku, kdy číslo
2^n + 1
je vždy prvočíslo, je-li n mocnina čísla 2. Euler tuto domněnku uvěřil pro n = 1,2,4,8,16. Prokázal ale, že číslo
2^32 + 1 = 4294967297
je dělitelné číslem 641 a proto není prvočíslem. Euler studoval další nedokázané Fermatovy výsledky a zavedl Eulerovu funkcí phi(n) jako počet celých čísel k mezi čísly 1 až n, kde k a n jsou nesoudělná. V roce 1749 Dokázal Fermatovo tvrzení, že pokud a, b jsou nesoudělná, pak a^2 + b^2 nemá dělitel tvaru 4n + 1. Největší věhlas Eulerovi získalo řešení tzv. Basilejského problému. Šlo o nalezení součtu řady
zeta(2) = sum{n=1}{infty} 1/n^2 ,
problém, který trápil řadu významných matematiků, včetně Jacoba Bernoulliho, Johanna Bernoulliho a Daniela Bernoulliho. Problém studovali neúspěšně také Leibniz, Stirling, de Moivre a další. Euler v roce 1735 nejenže ukázal, že součet této řady je pi^2/6, ale dokázal také, že zeta(4) = pi^4/90, zeta(6) = pi^6/945, zeta(8) = pi^8/9450, zeta(10) = pi^10/9355 a zeta(12) = pi^12/638512875. V roce 1737 Euler dokázal souvislost mezi zeta funkcí a řadami prvočísel. V roce 1739 Euler nalezl racionální koeficienty C ve vztahu
zeta(2n) = C.pi^{2n}. Další Eulerova práce týkající se nekonečných řad, vedla v roce 1735 k zavedení Eulerovy konstanty gama jako limity řady
1/1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/n - ln n
pro n jdoucí k nekonečnu. Euler vypočet Eulerovu konstantu na 16 desetinných míst. Euler studoval také Fourierovy řady a v roce 1744 jako první v dopise Goldbachovi vyjádřil algebraickou funkci pomocí této řady:
pi/2 - x/2 = sin x + (sin 2x)/2 + (sin 3x)/3 + .. 8.

června 1736 Euler napsal Jamesi Stirlingovi o svých výsledcích součtu recipročních mocnin, harmonických řad, Eulerově konstantě a dalších výsledcích. Mimo jiné napsal, že pro součet velmi pomalu konvergujících řad objevil zvláštní metodu, pomocí níž lze najít součet řady dostatečně přesně a s malou námahou. Euler také popsal vztah, který se dnes nazývá Eulerův Maclaurinův součtový vzorec. O dva roky později Eulerovi napsal Sterling, že Maclaurin bude publikovat knihu o fluxonech, ve které jsou dvě věty pro součet řad s derivacemi členů, které mu Euler již dříve zaslal. Euler odpověděl, že nechce nic ubírat ze slávy Mclaurina, který objevil některé věty o řadách před ním, a že si zaslouží být označován za jejich objevitele. Některé výsledky z teorie čísel již byly zmíněny dříve. Dalším důležitým výsledkem z teorie čísel byl důkaz Fermatovy poslední věty pro n = 3. Zřejmě důležitějším výsledkem, než byl samotný důkaz, bylo zavedení čísla ve tvaru a + b sqrt(-3) pro celá čísla a, b. Tento nový tvar čísla zřejmě vedl ke Kummerově významné práci o Fermatově poslední větě a k zavedení pojmu okruh. Bezesporu lze tvrdit, že vznik matematické analýzy lze spojit s Leonhardem Eulerem. Ve své práci z roku 1748 "Introductio in analysin infinitorum" Euler zpřesnil myšlenky Johanna Bernoulliho týkající se funkcí a naznačil, že matematická analýza je studiem funkcí. Tato práce položila základy teorie elementárních funkcí. Obsahuje také vztah
e^{ix} = cos x + i sin x
V práci "Introductio in analysin infinitorum" se Euler zabýval logaritmy pouze kladných hodnot, ikdyž v roce 1727 objevil vztah
ln(-1) = pi.i
Úplnou teorii logaritmů komplexních čísel publikoval v roce 1751. Analytické funkce komplexní proměnné Euler objevil v řadě různých souvislostí, včetně studia ortogonálních trajektorií a v kartografii. Cauchyho-Riemannovy podmínky objevil v roce 1777, D'Alembert je objevil již v roce 1752 při studiu hydrodynamiky. V roce 1755 Euler publikoval práci "Institutiones calculi differentialis", která se zabývala studiem počtu konečných diferencí. Přínosem této práce byl popis chování diferencí při různých substitucích. V práci "Institutiones calculi integralis" z let 1768 až 1770 se Euler zabýval integrály, které lze vyjádřit ve tvaru elementárních funkcí. Dále studoval vlastnosti beta a gama funkce, které Euler definoval v roce 1729. Legendre tyto funkce nazýval "Eulerovy integrály prvního a druhého druhu", zatímco Binet a Gauss je nazývaly beta a gama funkce. Euler dále objevil dvojné integrály, když se zabýval obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi.

Další oblastí, jíž se Euler zabýval a učinil zásadní objevy, byl variační počet. Ve své práci "Methodus inveniendi lineas curvas..." z roku 1740 začal své vlastní studium variačního počtu. Problémy matematické fyziky přivedly Eulera k rozsáhlému studiu diferenciálních rovnic. Zabýval se lineárními rovnicemi s konstantními koeficienty, diferenciálními rovnicemi druhého řádu s proměnnými koeficienty, řešením diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad, metodou variací konstant, integračními faktory, metodou aproximací řešení a řadou dalších problémů. Když se Euler zabýval vibrujícími membránami, využil Besselovu rovnici a jako její řešení Besselovy funkce. Euler se také zabýval diferenciální geometrií. Studoval teorii ploch a křivost ploch. Řada jeho nepublikovaných výsledků byla znovu objevena Gaussem. Díky svému studiu geometrie Euler dospěl k některým základním myšlenkám topologie, jako je Eulerova charakteristika mnohostěnu. Jestliže je mnohostěn konvexní, pak platí:
v + f - e = 2
kde "v" je počet vrcholů, "e" je počet hran a "f" je počet stěn. V roce 1736 Euler publikoval práci "Mechanica", v níž shrnul své výsledky z mechaniky získané systematickým použitím metod matematické analýzy. Práce všech dřívějších autorů o mechanice vycházely z geometrických představ. Euler byl první, kdo zavedl do mechaniky jednotné analytické metody. V práci "Mechanica" se Euler zabýval pohybem hmotného bodu ve vakuu a v prostředí kladoucím odpor. Analyzoval pohyb hmotného bodu při působení dostředivé síly a pohyb hmotného bodu po ploše. Na svoji práci "Mechanica" Euler později navázal důležitou prací o racionální mechanice, která se zabývala teoretickou a praktickou mechanikou. Euler se v té době zabýval lodním pohonem. Použil variační principy pro výpočet optimálního tvaru lodního trupu a jako první stanovil principy hydrostatiky. Euler se v této práci také zabýval kinematikou a dynamikou pevných těles a popsal diferenciální rovnice jejich pohybu. V roce 1765 Euler publikoval ještě další významnou práci o mechanice "Theoria motus corporum solidorum", v níž rozložil pohyb tělesa na přímočarou a rotační složku pohybu. Euler zde definoval Eulerovy úhly a studoval rotační problémy, když se zajímal o precesi setrvačníků. Euler se také zabýval mechanikou kapalin. V 50. letech 18. století publikoval několik významných prací na toto téma. Popsal základní rovnice, rovnici kontinuity, Laplaceovu potenciální rovnici rychlosti a Eulerovu rovnici pohybu nestlačitelní kapaliny.

V astronomii se Euler zabýval určením dráhy komet a planet na základě několika pozorování, metodou výpočtu paralaxy Slunce, teorií refrakce, úvahami o fyzikální povaze komet. Jeho významné práce, které byly několikrát oceněny pařížskou Académie des Sciences, se týkaly zejména nebeské mechaniky a zaujaly řadu vědců tehdejší doby. Eulerovu lunární teorii využil Tobias Mayer při vytváření tabulek elementů dráhy Měsíce. V roce 1765 Tobias Mayer obdržel od britské vlády 3000 liber za své tabulky a řešení problému měření zeměpisné délky, zatímco Euler obdržel jen 300 liber za teoretický přínos. Euler publikoval také práce o teorii hudby. V roce 1739 publikoval svoji práci "Tentamen novae theoriae musicae", v níž se pokusil hudbu popsat matematicky pomocí různých principů. Pro hudebníky byla práce ale příliš matematická a pro matematiky naopak příliš hudební. Euler se zabýval také kartografií a v roce 1735 byl jmenován ředitelem geografického oddělení Akademie v St. Petersburgu. Mimo jiné se podílel na přípravě map celého Ruského impéria. Výsledkem spolupráce s Delislem byl "Ruský atlas" z roku 1745, který obsahoval 20 map.