Lagrange pre vibrujúce struny použil diskrétny hmotnostný model, obsahujúci n hmotností, ktoré sú priradené nehmotným strunám. Podarilo sa mu vyriešiť výsledný systém n+1 diferenciálnych rovníc. Potom nechal n rásť nad všetky medze a získal rovnaké funkcionálne rovnice ako Euler. Jeho celkom odlišná cesta k riešeniu ale jasne ukazuje, že Lagrange vychádzal z celkom odlišných metód než Euler, ktorého si veľmi vážil. V článkoch v treťom zväzku časopisu Mélanges des Turin sa Lagrange zaoberal integráciou diferenciálnych rovníc a našiel rôzne aplikácie týchto metód napr. v mechanike kvapalín (kde sa po prvýkrát objavuje Lagrangeova funkcia). V článkoch sa po prvýkrát objavujú metódy riešenia systému lineárnych diferenciálnych rovníc pomocou charakteristických hodnôt lineárnej substitúcie. Svoje metódy tiež použil na štúdium dráhy planéty Jupiter a Saturn. V roku 1762 vyhlásila parížska Akadémia vied (Académie des Sciences) súťaž na riešenie problému librácie Mesiaca. Librácia Mesiace je pohyb, pri ktorom sa nepatrne mení poloha privrátenej strany Mesiaca. Lagrange sa tejto súťaže zúčastnil a svoju prihlášku poslal v roku 1763, ktorá do Paríža dorazila len chvíľu pred tým, než do Paríža dorazil on sám. V novembri Lagrange odišiel z Turína na svoju prvú dlhú cestu, keď sprevádzal Marquisea Caraccioliho, vyslanca v Turíne, ktorý mal pôsobiť v Londýne. D'Alembert bol sklamaný tým, že Paríž prijal Lagrangea pomerne chladne. Lagrange v Paríži ochorel a zostal tu bez finančných prostriedkov. Počiatkom roku 1765 sa Lagrange vrátil do Turína. Zaslal parížskej akadémii Académie des Sciences svoju prácu o pohybe mesiacov Jupitera. D'Alembert navštívil Berlínsku akadémiu a vďaka svojmu priateľstvu s Frederickom II. v Prusku získal pre Lagrangea ponuku členstva v Berlínskej akadémii. Lagrange ale túto ponuku znovu odmietol, pokiaľ v Berlíne pôsobí Leonhard Euler, ktorému zrejme nechcel nijako konkurovať. V marci 1766 sea d'Alembert dozvedel, že Euler sa vrátil do St. Petersburgu a znovu napísal Lagrangeovi ponuku, aby prijal miesto v Berlíne. V apríli 1766 Lagrangeovi napísal Frederick II. a Lagrange konečne miesto prijal. V apríli 1766 opustil Turín a pri svojej ceste navštívil d'Alemberta v Paríži, potom Caraccioliho v Londýne a v októbri 1766 dorazil do Berlína. Lagrange sa stal po Eulerovi 6. novembra 1766 riaditeľom oddelenia matematiky Berlínskej akadémie vied. Lagrange bol väčšinou členov Akadémie vrelo prijatý a stal sa blízkym priateľom Lamberta a Johanna Bernoulliho. Nie všetci však boli nadšení tým, že Lagrange získal v mladom veku také prestížne miesto.