Harmonická analýza

Zadanie:
Pre zvolený periodický priebeh realizjte harmonickú analýzu numerickou metódou. Vypočítajte jednosmernú zložku A0 a prvých 5 harmonických A1, A2, A3, A4, A5 uvedeného priebehu. Po vypočítaní Fourierových koeficientov zrealizujte spätne harmonickú syntézu. Zadaný priebeh porovnajte s výsledným priebehom po harmonickej syntéze v spoločnom grafe.


Teória:
Výpočet koeficientov

jednosmernej zložky:                p
a0 = 1/p *∑ yk            k=1
kosínusovej zložky jednotlivých harmonických:


a0 = 2/p *∑ yk * cos((360°/p)*k*n) , n – počet harmonických
p – počet vzoriek priebehu

sínusovej zložky jednotlivých harmonických:


an = 2/p * ∑ yk * sin((360°/p)*k*n)


Pre výpočet absolútnych hodnôt amplytúd pre jednotlivé harmonické a jednosmernú zložku platia vzorce:
            ________
A0 = √ (a0)2 + 0 = |a0|
            ____________
An = √ (an)2 + (bn)2


Fázový posun absolútnych hodnôt jednotlivých harmonických sa vypočíta zo vzorca:


φn = arctg( b0/an)

pričom výsledný uhol fázového posunu sa v závislosti na znamienku sínusovej a kosínusovej zložky jednotlivých harmonických určí podľa nasledujúceho grafu: (viď. Obr.č.1)

Pre hodnoty jednotlivých bodov spätnej harmonickej syntézy platí vzorec:
                n
Ym = A0 + ∑ Ak * cos((360°/p)*k*m – φk)                k=1
Výpočet:

Na realizáciu príkladu pre harmonickú analýzu a syntézu som použil priebeh s nasledujúimi hodnotami:


y1     y2     y3     y4     y5     y6     y7     y8     y9     y10     y11     y12
0,4    2,4    2,7    2,4    2,3     0,7    -0,5    -1,9 -1,6     -0,7      -0,3     0


Pre počet bodov priebehu p=12 vzoriek je počet harmonických n=5 podľa vzorca:

n=(p-2)/2

Výpočet koeficientu jednosmernej zložky:

a0 = 1/p*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11+y12) = 0,4917

Výpočet koeficientov kosínusových zložiek:

a1 = 2/p * (y1*cos(30°) + y2*cos(60°) + y3*cos(90°) + y4*cos(120°) + y5*cos(150°) + y6*cos(180°) + y7*cos(210°) + y8*cos(240°) + y9*cos(270°) + y10*cos(300°) + y11*cos(330°) + y12*cos(360°)) = -0,2620

a2 = 2/p * (y1*cos(60°) + y2*cos(120°) + y3*cos(180°) + y4*cos(240°) + y5*cos(300°) + y6*cos(360°) + y7*cos(60°) + y8*cos(120°) + y9*cos(180°) + y10*cos(240°) + y11*cos(300°) + y12*cos(360°)) = -0,0917

a3 = 2/p * (y1*cos(90°) + y2*cos(180°) + y3*cos(270°) + y4*cos(360°) + y5*cos(90°) + y6*cos(180°) + y7*cos(270°) + y8*cos(360°) + y9*cos(90°) + y10*cos(180°) + y11*cos(270°) + y12*cos(360°)) = -0,3167

a4 = 2/p * (y1*cos(120°) + y2*cos(240°) + y3*cos(360°) + y4*cos(120°) + y5*cos(240°) + y6*cos(360°) + y7*cos(120°) + y8*cos(240°) + y9*cos(360°) + y10*cos(120°) + y11*cos(240°) + y12*cos(360°)) = -0,0417

a5 = 2/p * (y1*cos(150°) + y2*cos(300°) + y3*cos(90°) + y4*cos(240°) + y5*cos(30°) + y6*cos(180°) + y7*cos(330°) + y8*cos(120°) + y9*cos(270°) + y10*cos(60°) + y11*cos(210°) + y12*cos(360°)) = 0,2287


Výpočet koeficientov sínusových zložiek:

b1 = 2/p*(y1*sin(30°) + y2*sin(60°) + y3*sin(90°) + y4*sin(120°) + y5*sin(150°) + y6*sin(180°) + y7*sin(210°) + y8*sin(240°) + y9*sin(270°) + y10*sin(300°) + y11*sin(330°) + y12*sin(360°)) = 2,0764

b2 = 2/p*(y1*sin(60°) + y2*sin(120°) + y3*sin(180°) + y4*sin(240°) + y5*sin(300°) + y6*sin(360°)+y7*sin(60°) + y8*sin(120°) + y9*sin(180°) + y10*sin(240°) + y11*sin(300°) + y12*sin(360°)) = -0,4763
b3 = 2/p*(y1*sin(90°) + y2*sin(180°) + y3*sin(270°) + y4*sin(360°) + y5*sin(90°) + y6*sin(180°) + y7*sin(270°) + y8*sin(360°) + y9*sin(90°) + y10*sin(180°) + y11*sin(270°) + y12*sin(360°)) = -0,1333

b4 = 2/p*(y1*sin(120°) + y2*sin(240°) + y3*sin(360°) + y4*sin(120°) + y5*sin(240°) + y6*sin(360°) + y7*sin(120°) + y8*sin(240°) + y9*sin(360°) + y10*sin(120°) + y11*sin(240°) + y12*sin(360°)) = -0,1299

b5 = 2/p*(y1*sin(150°) + y2*sin(300°) + y3*sin(90°) + y4*sin(240°) + y5*sin(30°) + y6*sin(180°) + y7*sin(330°) + y8*sin(120°) + y9*sin(270°) + y10*sin(60°) + y11*sin(210°) + y12*sin(360°)) = -0,0598


Absolútna hodnota pre jednosmernú zložku je:
            _________
A0 = √ 0,49172+0 = 0,4917


Absolútne hodnoty pre jednotlivé harmonické sú:
            ________________
A1 = √ -0,26202+ 2,07642 = 2,0929 A2 = 0,4850 A3 = 0,3436 A4 = 0,1364 A5 = 0,2364

Pre uhly absolútnych hodnôt jednotlivých harmonických vyšli hodnoty:

φ1 = arctg(+2,0764 /-0,2620) = 180°-(-82,81°) = 262,81°
φ2 = arctg(-0,4763 /-0,0917) = 180°+79,10° = 259,1°
φ3 = arctg(-0,1333 /-0,3167) = 180°+22,83° = 202,83°
φ4 = arctg(-0,1299/-0,0417) = 180°+72,20° = 252,2°
φ5 = arctg(-0,0598/0,2287) = 360°-(-14,65)° = 374,65°


Spätná harmonická syntéza

V našom prípade pre 12 vzoriek a 5 harmonických bude platiť pre jednotlivé hodnoty harmonickej syntézy

ym = A0 + A1*cos((30° * m) – φ1) + A2*cos((60° * m) – φ2) + A3*cos((90° * m) – φ3) + A4*cos((120° * m) –φ4) + A5*cos((150° * m) – φ5)

y1 = 0,4917+ 2,0929*cos(30° - 262,81°)+ 0,4850*cos(60°- 259,1°)+ 0,3436*cos(90°- 202,83°)+ 0,1364*cos(120° - 252,2°)+ 0,2364*cos(150° - 374,65°) = -1,6248

y2 = 0,4917+ 2,0929*cos(60° - 262,81°)+ 0,4850*cos(120°- 259,1°)+ 0,3436*cos(180°- 202,83°)+ 0,1364*cos(240° - 252,2°)+ 0,2364*cos(300° - 374,65°) = -1,2915

y3 = 0,4917+ 2,0929*cos(90° - 262,81°)+ 0,4850*cos(180°- 259,1°)+ 0,3436*cos(270°- 202,83°)+ 0,1364*cos(360° - 252,2°)+ 0,2364*cos(90° - 374,65°) = -1,3415
y4 = 0,4917+ 2,0929*cos(120° - 262,81°)+ 0,4850*cos(240°- 259,1°)+ 0,3436*cos(360°- 202,83°)+ 0,1364*cos(120° - 252,2°)+ 0,2364*cos(240° - 374,65°) = -1,2917

y5 = 0,4917+ 2,0929*cos(150° - 262,81°)+ 0,4850*cos(300°- 259,1°)+ 0,3436*cos(90°- 202,83°)+ 0,1364*cos(240° - 252,2°)+ 0,2364*cos(30° - 374,65°) = 0,2749

y6 = 0,4917+ 2,0929*cos(180° - 262,81°)+ 0,4850*cos(360°- 259,1°)+ 0,3436*cos(180°- 202,83°)+ 0,1364*cos(360° - 252,2°)+ 0,2364*cos(180° - 374,65°) = 0,7083

y7 = 0,4917+ 2,0929*cos(210° - 262,81°)+ 0,4850*cos(60°- 259,1°)+ 0,3436*cos(270°- 202,83°)+ 0,1364*cos(120° - 252,2°)+ 0,2364*cos(330° - 374,65°) = 1,5085

y8 = 0,4917+ 2,0929*cos(240° - 262,81°)+ 0,4850*cos(120°- 259,1°)+ 0,3436*cos(360°- 202,83°)+ 0,1364*cos(240° - 252,2°)+ 0,2364*cos(120° - 374,65°) = 1,8084

y9 = 0,4917+ 2,0929*cos(270° - 262,81°)+ 0,4850*cos(180°- 259,1°)+ 0,3436*cos(90°- 202,83°)+ 0,1364*cos(360° - 252,2°)+ 0,2364*cos(270° - 374,65°) = 2,4250

y10 = 0,4917+ 2,0929*cos(300° - 262,81°)+ 0,4850*cos(240°- 259,1°)+ 0,3436*cos(180°- 202,83°)+ 0,1364*cos(120° - 252,2°)+ 0,2364*cos(60° - 374,65°) = 3,0084

y11 = 0,4917+ 2,0929*cos(330° - 262,81°)+ 0,4850*cos(300°- 259,1°)+ 0,3436*cos(270°- 202,83°)+ 0,1364*cos(240° - 252,2°)+ 0,2364*cos(210° - 374,65°) = 1,7084

y12 = 0,4917+ 2,0929*cos(360° - 262,81°)+ 0,4850*cos(360°- 259,1°)+ 0,3436*cos(360°- 202,83°)+ 0,1364*cos(360° - 252,2°)+ 0,2364*cos(360° - 374,65°) = 0,0083


Záver:

Porovnaním hodnôt vypočítaných pomocou numerickej metódy s hodnotami vstupného signálu vyplýva, že pomocou harmonickej analýzy a syntézy mi vyšli hodnoty s veľkými odchýlkami od vstupného signálu, čo názorne zobrazuje graf.