Narodil sa 17. Februára 1864 v Tajove pri Banskej Bystrici v rodine malého roľníka. Už na základnej škole v rodisku vynikal bystrosťou a vnímavosťou a na gymnáziu v Banskej Bystici nevšedným talentom v kreslení a v prírodných vedách.
Po ukončení štvrtej triedy však talent a záujem o technickú školu v nemajetnej rodine museli ustúpiť a mladého Murgaša čakala kňazská dráha. Po dvojročnom seminári v Bratislave pokračoval v štúdiách v Ostrihome a Banskej Bystrici. A stal sa kaplánom v Dubovej. Jeho veľký záujem o pokrok v elektrotechnike sa snúbil s maliarskym nadaním, a tak sa Murgaš za pomoci maliara Dominika Skuteckého namiesto kaplánovania dostal na krajinskú maliarsku školu do Budapešti a odtiaľ za vynikajúce výsledky na maliarsku akadémiu do Mníchova (1890-1893), ktorú mu však znemožnili dokončiť.
V tom čase sa totiž uvedomelý Murgaš dostal do sporu s maďarónskymi cirkevnými nadriadenými, ktorí ho obviňovali z panslavizmu a šikanovali ho. Rozhodol sa nasledovať tisíce svojich krajanov hľadajúcich obživu za morom a roku 1896 sa usadil v malej slovenskej baníckej obci Wilkes Barre v Pennsylvánii. Murgašovo vyše tridsaťročné pôsobenie vo Wilkes Barre bolo plodným obdobím práce medzi starousadlíkmi, ale predovšetkým v priekopníckej práci v rádiotelegrafii.
Maľovaním si získaval prostriedky na zriadenie laboratória.
V tom čase už poznal výsledky pokusov Marconiho, v jeho systéme však čoskoro zistil veľké nedostatky. Marconiho systém totiž spočíval na bodkách a čiarkách teda na Morseovej abecede, ktorá sa používala pri drôtovej telegrafii. Na vyslanie čiarky týmto systémom bol potrebný pomerne dlhý čas, čím sa depeša spomaľovala, prípadne čiarky a bodky splývali, a preto Murgaš hľadal taký systém a konštrukciu prijímacích a vysielacích zariadení, v ktorých by sa signáli líšili tónom, a nie ako u Marconiho dĺžkou.
Tak po čase vznikol Murgašov Ton-System, ktorý sa zakladal na myšlienke vysielať dvoma kmitočtami. Už roku 1904 mu ho patentovali a v priebehu ďalších siedmich rokov Murgaš prihlásil na patentovanie ďalších jedenásť konštrukcií a originálnych zlepšení v rádiotelegrafii, ako je spôsob prenášania správ bezdrôtovou telegrafiou (1904), zariadenie na výrobu elektromagnetických vĺn (1905), bezdrôtová telegrafia (1905), vlnomer (1906), konštrukcia antény na bezdrôtovú telegrafiu (1906), elektrický transformátor (1906), detektor magnetických vĺn (1908) a prístroj na výrobu elektrických oscilácií (1910).