Žiaci zväčša začnú uvažovať v sústave spojenej s brehom rieky, zavedú rýchlosť rieky voči brehu, rýchlosť rybára voči rieke, napíšu rovnice a zistia, že nejaký údaj im chýba.

Ak začnú počítať v sústave spojenej s riekou, uvedomia si, že doba od straty udice k otočeniu loďky musela trvať rovnako dlho ako doba od otočenia loďky po stretnutie s udicou. S týmto údajom možno úlohu vyriešiť aj bez papiera a ceruzky.

Niekedy ale žiaci ani po vysvetlení neveria, že tieto dve doby sú rovnaké. Potom pomáha nájdenie analogického problému. Napríklad cestujúci vo vlaku sa chce isť najesť do jedálneho vozňa, ale ihneď potom ako si sadne, zistí, že peňaženku si nechal v kupé. Bude mu cesta naspäť trvať rovnako dlho ako cesta tam?


Understanding as „standing under"

Kolega Laco Kvasz raz vymyslel pekné spojenie „Understanding as standing under" [6], ktoré vystihuje jeden aspekt „porozumenia". V tomto zmysle porozumenie znamená zaradiť problém, či otázku, „tam, kde patrí" v rámci siete spomínanej v bode v). Uveďme ilustráciu z QM. Ak máme spočítať ako sa zmení určitá spektrálna čiara v danom statickom vonkajšom poli, vieme rozhodnúť, že vplyv poľa môžeme považovať za malú poruchu a vieme, že na výpočet možno použiť poruchovú metódu pre stacionárne stavy. Na precvičovanie upevňovanie spomínanej siete sú užitočné diskusie o tom kde v rámci danej teórie patrí určitý problém, o čom hovorí určitý experimentálny výsledok, aj to ako by sa daný problém dal experimentálne objasniť. Porozumenie problému v zmysle Diraca, Feynmana a Wheelera

tom, čo znamená porozumieť rovnici existuje zaujímavý citát od Diraca. Podľa neho rovnici rozumieme vtedy, ak vieme o jej riešení povedať niečo bez toho, aby sme ju explicitne vyriešili. Stretol som sa už aj s tým, že podobné vyjadrenie o riešení problému bolo pripísané Feynmanovi.

Na ilustráciu tohto pohľadu si môžeme zobrať príklad z úvodného kurzu fyziky.

Príklad: Kovová guľka padá vo vode. Vypočítajte závislosť jej rýchlosti od času.

Po istej diskusii sa príde k rovnici (os z je orientovaná smerom nadol)


ma = mg - Cv


ktorú môžeme s využitím a=d2z/dt2, v=dz/dt prepísať na diferenciálnu rovnicu a explicitne vyriešiť pri daných počiatočných podmienkach, napríklad z=0, v=0. A napokon môžeme riešenie znázorniť graficky. Keby sme ale chceli zistiť, či študenti rovnici rozumia v Diracovom zmysle, mali by sme ich ešte pred riešením rovnice požiadať, aby sa pokúsili kvalitatívne uhádnuť nejaké vlastnosti výsledku, napríklad tvar závislostí a(t), v(t) a z(t) ešte pred tým, ako by sa s riešením rovnice začalo. Samozrejme, o navrhovaných závislostiach by sa mala spraviť diskusia o tom, ktorý návrh a prečo je dobrý. Ak študenti na takýto postup nie sú zvyknutí, je možné rovnicu vyriešiť, nakresliť príslušné grafy a potom prediskutovať prečo museli vyjsť tak ako vyšli.