a stredná kvadratická odchýlka v hybnosti je <(Δp)2>. Nájdite strednú hodnotu hybnosti a strednú kvadratickú odchýlku hybnosti v stave


φ(x) = exp(ip0x/ħ) ψ(x)


Aj toto sa dá riešiť dosadením do príslušných vzorcov a po troche počtov študent dostane správny výsledok: stredná kvadratická odchýlku zostane rovnaká a stredná hodnota hybnosti sa posunie o hodnotu p0. Výsledok je ale natoľko prostý, že vzbudzuje podozrenie, že by sa dal získať aj jednoduchšie. V skutočnosti stačí zapísať


ψ(x) = ∫ ψ (p) exp (ipx/ħ) dp


a podobne pre φ(x) a vidνme hneď, že v priestore hybností je φ(p) posunuté voči ψ(p) o p0 a odtiaľ okamžite vyplýva celý výsledok.

Príklad: Nájdite v prvom a v druhom ráde stacionárnej poruchovej metódy korekciu k energii základného stavu dvojhladinovej sústavy, keď H0 je 2x2 matica, ktorá má v diagonále reálne čísla a,b a inde nuly a H'=λσx, kde σx je jedna z Pauliho matíc.

Väčšina študentov niečo spočíta, ale nenapadne ich, že táto triviálna úloha je presne riešiteľná a riešenie je možné rozvinúť do mocnín λ a overiť správnosť výsledku. Mimochodom, ťažko možno nájsť úlohu, ktorá by jednoduchšie ilustrovalo to ako funguje poruchová metóda. Podobne to často vyzerá s následujúcim príkladom.

Príklad: Nájdite poruchovou metódou korekciu k energii základného stavu lineárneho harmonického oscilátora s poruchou H'=λx2. Úloha je znova jednoducho riešiteľná v uzavretom tvare, ale len málo študentov porovná výsledok získaný poruchovou metódou s prvým členom v rozvoji presného riešenia.

Príklad: Použite pre približný výpočet jednorozmerného problému so zadaným potenciálom V(x) variačnú metódu s vlnovou funkciou parametrizovanou ako


Ψ(x) = C.exp(-β|x|)


Viacerí študenti dosadia túto vlnovú funkciu do vzorca pre strednú hodnotu energie a vôbec im nevadí, že stredná hodnota kinetickej energie im vychádza záporná. Príklad je tak trocha chyták, lebo funkcia Ψ(x) má nespojitú prvú deriváciu v bode x=0.