Ale problému sa dá ľahko vyhnúť, ak si uvedomíme čo sa deje a vo výraze pre strednú hodnotu kinetickej energie urobíme jednu úpravu per partes.

Príklad: Pri odhade energie základného stavu variačnou metódou pre


H=-(ħ2/2m)d2/dx2 – Vo exp(-2βx2)


študent použije skúšobnú vlnovú funkciu typu Ψ(x) = C.exp(-x2/α2) a pri výpočte strednej hodnoty potenciálnej energie v lepšom prípade dostane


Vo / {1+2βα2}1/2


Výpočet nie je veľmi komplikovaný, ale zmýliť sa je možné a kontrola vyšetrením limitných prípadov je užitočná. Máloktorý študent vyšetrí limitný prípad, keď α2 je oveľa menšie ako 1/(2β), všimne si, čo sa vtedy deje so skúšobnou vlnovou funkciou a zistí, že výsledok je rozumný, urobí si aj opačný limitný prípad, tiež si všimne, čo sa pri ňom robí s vlnovou funkciou a zistí, že výsledok je tiež rozumný. Súhlas limitných prípadov s očakávaním nedokazuje správnosť výsledku, ale môže vylúčiť chybné výsledky.

Príklad: Nájdite operátor, ktorý urobí rotáciu spinoru okolo danej osi o daný uhol. Tiež je to jednoduchý príklad, a vyšetrenie jednoduchých špeciálnych prípadov a spočítania stredných hodnôt priemetu spinu na určitú os môže vylúčiť chybu.


Príklad: Elektrón viazaný na úsečku o dĺžke L je v čase t=0 v stave opísanom vlnovou funkciou

Ψ(x)= (1/L)1/2 [ sin(πx/L) + sin(2πx/L) ]

Aká bude vlnová funkcia po čase t1= ħ/E1, kde E1 = π2 ħ2 / (2mL2) a aké budú stredné hodnoty x v čase t=0 a t=t1?


Príklad sa, samozrejme, dá ľahko vyriešiť aj bez kreslenia obrázkov, ale pomocou obrázku študent získa potrebný vhľad do problému.


Poznámky k viacerým príkladom:

Ak v nejakom príklade vychádza numerický výsledok, povedzme, že z údaju o skupenskom teple potrebnom na vyparenie vody zistíme, že na vytrhnutie jednej molekuly vody z kvapaliny potrebujeme energiu 0.42eV, je takmer vždy potrebné položiť si otázku „je to málo, alebo je to veľa?". Ak toto číslo porovnáme napríklad s energiou potrebnou na ionizáciu atómu vodíka a vieme, že v prvom prípade ide o väzbu vodíkovým mostíkom (alebo ak študent o tom nevie, môže si predstaviť van der Waalsovu silu) a v druhom o coulombovskú väzbu, výsledok na prvý pohľad neprotirečí zdravému rozumu. Keď počítame nejakú veličinu, napríklad korekciu druhého rádu k energii základného stavu nabitej častice považovanej za lineárny harmonický oscilátor vo vonkajšom statickom elektrickom poli, je vždy dobre si uvedomiť, čo to vlastne z fyzikálneho hľadiska počítame. V tomto príklade je to energia indukovaného dipólového momentu vo vonkajšom poli. Tento fyzikálny pohľad (aj vhľad) nám umožní odhadnúť výsledok napr.