Abstrakt:
V texte sa snažím predložiť niekoľko pohľadov na to, čo znamená „rozumieť fyzike" a odporúčať študentom ako sa majú pripravovať na skúšku z kvantovej mechaniky, ak chcú dostať dobrú známku. Upozorňujem vopred na to, že je to veľmi subjektívny pohľad.
1.Úvod
Tento text vznikol z niekoľkých príčin. Po prvé: viacerí učitelia, vrátane mňa, sa snažia (alebo si to aspoň nahovárajú) učiť tak, aby študenti „porozumeli" ich predmetu a nie aby sa len niečo naučili naspamäť a po skúške to rýchlo zabudli. Samotný termín „porozumieť" ostáva zväčša definovaný len intuitívne. Pokus povedať o tom niečo viac a jasnejšie vedie prirodzene k otázke „čo to znamená rozumieť fyzike?" (alebo určitej fyzikálnej disciplíne).
Druhá príčina je vážnejšia. Počas dlhých rokov vyučovania kvantovej mechaniky (ďalej len QM) som sa pri skúške často stretol s istým nedorozumením medzi mnou a skúšaným študentom. Študent bol presvedčený o tom, že sa QM naučil dobre a ja som jeho odpoveď hodnotil slabšie ako študent očakával. Z môjho hľadiska preto, že som nehodnotil to, ako sa látku „naučil", ale to, ako jej „rozumel". Považujem preto za korektné pokúsiť sa napísať to, čo na skúške hodnotím ako „porozumenie" a teda oceňujem lepšou známkou. Pokúsim sa to aj ilustrovať na viacerých skutočných situáciách.
Tretia príčina je prostá. Otázka o tom, čo to znamená „rozumieť fyzike" je dobrá téma na diskusie s priateľmi pri káve. Už sa na tie diskusie teším.
My fyzici, tak ako asi každá skupina ľudí pracujúcich v nejakej profesii, či disciplíne, máme svoje „profesionálne deformácie". Patrí k nim aj sklon pozerať sa na nefyzikálne problémy očami fyzika, hoci niekedy takýto pohľad neprináša veľa úžitku. Akosi podvedome sme navyknutí považovať za zmysluplné len otázky, na ktoré sa dá zodpovedať jednoznačne a najradšej aj s istou kontrolovateľnou presnosťou. Ak sa to nedá, radšej sa takejto otázke vyhneme. Je to asi prirodzené, veď základné práce modernej fyziky, napr. Galileove a Newtonove, odpovedali na otázky dynamiky jednoduchých sústav, vrátane našej planetárnej sústavy, celkom jednoznačne. Ďalším klasickým príkladom je taký atóm vodíku, hoci aj vo vonkajšom poli, kde sa dá oddeliť viac dôležité od menej dôležitého, zaviesť nultý rád a vyššie priblíženia a pod. Aj keď v histórii fyziky boli v určitých obdobiach viaceré konkurujúce si teórie, napokon sa to vyriešilo v prospech jednej z nich.
V iných disciplínach ako napr.
sociológia, psychológia, ekonómia a v ďalších sa ľudia zaoberajú tak komplikovanými javmi, že je celkom prirodzené, že existuje viacero pohľadov (či „teórií), z ktorých každý objasňuje len jeden aspekt celého komplikovaného problému. Takéto rôzne pohľady sa potom skôr dopĺňajú ako vylučujú. Otázka čo znamená „rozumieť danej fyzikálnej disciplíne" , napr. QM, nie je fyzikálnou otázkou. Patrí zároveň do fyziky, pedagogiky a psychológie. Preto na ňu neexistuje jednoznačná odpoveď. Navyše, ak si v novších výkladových slovníkoch, napríklad v Oxfordskom, nájdeme heslá ako „didactics" alebo „pedagogy", zistíme, že je to „art and science of teaching". A ako náhle niečo patrí aj do umenia potom jednoznačné odpovede existujú len zriedka – a je to celkom v poriadku. O tom ako sa človek stáva úspešným umelcom, neviem vôbec nič, ale domnievam sa, že je to viac učením sa od veľkých umelcov (teda tvorivým napodobňovaním vzorov), pokusmi a omylmi, ale nie učením sa naspamäť nejakej teórie.
O tom, čo znamená „rozumieť fyzike" sa zriedkavo explicitne hovorí, a predstavu o tom, čo to znamená, získava študent a mladý fyzik najskôr z toho, ako fyziku prednášajú a skúšajú jeho učitelia, z diskusií s kolegami a učiteľmi a z toho ako pracujú semináre, na ktorých sa zúčastňuje. Veľa by sa dalo získať aj z priameho štúdia pôvodných prác klasikov a z analýzy a diskusií k týmto prácam, ale to sa, bohužiaľ, robí pomerne zriedkavo. Mimochodom, bolo by určite dobré mať napríklad klasické práce z obdobia vzniku kvantovej mechaniky (ďalej len QM) nahrané na CD a diskutovať k nim napríklad na cvičeniach alebo na študentských seminároch. Pohľad mojej generácie na túto otázku bol teda ovplyvnený našimi učiteľmi, učebnicami, ktoré sme používali. Patrili k nim aj učebnice profesora Votrubu o teórii elektromagnetického poľa a špeciálnej teórie relativity [1,2] a neskôr z práce pravidelného utorkového (tzv. Petrášovho) semináru teoretickej fyziky. Na takýchto seminároch získavajú účastníci informácie o veciach, ktoré sa ťažko opisujú slovami a už vôbec sa nedajú zapísať rovnicami. Jednou z nich sú spôsoby komunikácie, otázky výberu problematiky a systém hodnôt. Veľa som sa osobne naučil o týchto veciach aj vtedy keď pán profesor Votruba recenzoval druhé vydanie našej učebnice QM. Ovplyvnil nás určite aj kurz teoretickej fyziky Landaua a Lifšica, Feynmanov kurz fyziky a viaceré Feynmanove práce [3] pre širšiu fyzikálnu aj nefyzikálnu verejnosť.
Tieto Feynmanove knižky rovnako ako jeho niektoré články o vyučovaní fyziky veľmi odporúčam na prečítanie a diskusiu študentom.
Domnievam sa, že pod termínom „rozumieť danej fyzikálnej disciplíne" si zväčša predstavujeme nejakú kombináciu nasledujúceho:
schopnosť reprodukovať časti teórie,
schopnosť riešiť štandartné precvičovacie úlohy (end of chapter problems), niekedy stačí sa ich zopár naučiť naspamäť,
schopnosť riešiť zložité úlohy,
mať dobre osvojené základné zákony a pojmy, sem patrí aj súvis teórie a experimentu, pretože mnohé zo základných pojmov sa objasnia práve v tomto kontexte,
navyše k iv) mať v hlave systém súvislostí a prepojení medzi základnými zákonmi a pojmami (a možno aj historický pohľad na ich vznik). Poznatky v hlave tvoria potom istú usporiadanú „sieť", v ktorej sú pojmy a zákony pospájané aj s ich hierarchiou.
schopnosť analyzovať problém z kvalitatívneho hľadiska, vedieť uhádnuť niečo o riešení vopred – alebo aspoň kvalitatívnou analýzou prísť na to, či nájdené riešenie je „rozumné" alebo nie.
Čestne sa priznávam k tomu, že „porozumenie fyzike" viac – menej stotožňujem s bodmi iv), v) a vi). Nazdávam sa tiež, že riešenie nových zložitých fyzikálnych úloh, nie je možné bez bodu vi), pretože každý krok v dlhšom reťazci argumentov, musí byť overený aj kvalitatívne – inak sa výsledku nedá veriť. Toto neplatí pri riešení zložitých úloh, ktoré už boli vyriešené a kde sa výsledok vlastného výpočtu dá porovnať s už známym. Vzhľadom na to, že pri prednáškach, cvičeniach a skúškach nie je veľmi veľa času a že u nás ani na doktorandskom štúdiu nie je zvykom, aby študenti riešili samostatne zložité úlohy, je lepšie sústrediť sa na body iv), v) a vi).
V anglosaskej literatúre sa niekedy používa pri diskusii o prístupe k riešeniu úloh používajú aj termíny „random search problem solver" a „insightful problem solver". Domnievam sa, že rozlíšenie je vlastne podobné ako medzi riešiteľom, ktorý vie dosiahnuť len stupne i) a ii) a medzi tým, ktorý sa úspešne pohybuje aj v posledných troch spomínaných bodoch.
Doteraz sme o „porozumení danej fyzikálnej disciplíny" hovorili z hľadiska samotnej disciplíny a trocha sme do toho zahrnuli aj niečo z jej histórie. Ale termín „porozumenie" by sme mohli – a asi aj mali – rozšíriť aj na vzťah danej disciplíny na súvislosti tejto disciplíny s inými oblasťami poznania, na jej vzťah k technológiám a k praktickým aplikáciám, vzťah k filozofii a k rozvoju spoločnosti. V prípade QM by sme takto mohli uvažovať napríklad o:
vzťah QM a chémie, zahrnujúci napríklad priestorovú štruktúru molekúl, vysvetlenie chemickej väzby, spektier molekúl, atď. Podobne vzťah QM a biológie a biofyziky.
Vzťah QM a moderných technológií, napríklad vodivosť látok, supravodivosť, tranzistor, pamäte v počítačoch, mikrovlny v trúbe aj v radaroch, šírenie elektromagnetických vĺn a komunikácia, tomografy, moderné metódy v lekárstve, možný vznik kvantových počítačov, atď.
Vzťah QM a astronómie, nové možnosti pozorovania objektov vo Vesmíre, analýza astronomických javov, vysvetlenie pôvodu zdroja energie hviezd, teórie veľkého tresku a štruktúry a vývoja Vesmíru, atď.
Vzťah QM (alebo fyziky všeobecne) na život spoločnosti, napríklad úloha radaru v druhej svetovej vojne, dôsledky jadrových zbraní, príspevok fyziky k získavaniu energie, sprostredkovaný vplyv fyziky na život spoločnosti cez nové technológie atď. Týmto aspektom sa pri riadnom štúdiu venujeme pomerne málo a zrejme sa spoliehame na to, že zvedavý študent sa to dozvie z iných zdrojov, zo správ, z TV, z literatúry a pod. Vplyv QM a všeobecne fyziky na filozofiu a na to ako sa ľudia pozerajú na svet „ako celok". Z histórie je dobre známy vplyv Newtonovej fyziky na generáciu filozofov, ktorá prišla po ňom, vplyv QM s jej pravdepodobnostnou interpretáciou je tiež významný aj keď nie až tak silný.
Štúdium QM (rovnako ako iných disciplín) by malo viesť aj k iným dôsledkom ako je „porozumenie QM" – a mnohé z nich sú porovnateľne dôležité, napríklad rozvoj komunikačných a argumentačných schopností študenta, rozvoj jeho kritického myslenia, atď. Tu sa však týmito aspektmi nebudeme zaoberať a ostaneme len pri otázke „porozumenia".
Tento text má nasledujúci obsah:
2. Porozumenie fyzikálnemu problému, ilustrácie z QM
3. Kvalitatívne porozumenie, komunikácia, schopnosť spozorovať a formulovať problém,
4. Čo znamená (z praktického hľadiska študenta) rozumieť QM,
5. Ako prebieha skúška z QM a ako sú hodnotené odpovede,
6. Záverečné poznámky
2. Porozumenie fyzikálnemu problému, ilustrácie z QM
Prvý stupeň „porozumenia" je najjednoduchší – žiak alebo študent si na ňom niečo zapamätá alebo inak povedané, naučí sa to naspamäť. Pri riešení úloh sa k tomu ešte pridá schopnosť dosadiť zadané veličiny do jedného vzorca, najčastejšie jedného z tých, ktoré sa preberali na poslednej prednáške. Tento stupeň je ľahko oddeliť od všetkých ostatných. Mnoho žiakov na stredných školách ostáva na tejto úrovni a fyzika pre nich ostáva VDV (Vedou o Dosadzovaní do Vzorcov – termín pochádza od Vlada Černého). Pod termínom „porozumenie" však vo fyzike zväčša intuitívne očakávame viac. Ak napríklad povieme, že „študent rozumie danej oblasti fyziky" (nič by sa nestalo keby sme to nazvali hoci „porozumenie druhého stupňa") myslíme pritom aj to, že jednotlivé poznatky nie sú v hlave študenta izolovanými oblasťami, ale že vytvárajú akúsi sieť, po ktorej sa študent vie pohybovať a ak sa stretne s novým problémom, vie ktoré miesto v sieti je pre tento problém dôležité. V lepšom prípade je študent schopný vyvolať si niekoľko možných miest v sieti, pozrieť sa na problém z niekoľkých hľadísk a vybrať efektívny a jednoduchý prístup k riešeniu.
Učitelia veria, a asi v tom majú aspoň časť pravdy, že takýto prepojený systém vzniká riešením ťažších problémov.
Pri jednotlivých problémoch sa vytvárajú a upevňujú jednotlivé časti siete a po dlhšom čase (a viacerých vyriešených problémoch rôzneho typu) je sieť utkaná. Domnievam sa, že diskusie seminárneho typu, alebo vnútri malej skupinky študentov, pri riešení náročnejších úloh a problémov by pomohli, ale samostatnej a individuálnej práci študentov pri riešení úloh a problémov sa pri snahe o hlbšie porozumenie nedá vyhnúť. Cesty k tomu ako sa naučiť riešiť úlohy
Učiť sa plávať plávaním
Pólya vo svojej knihe [4] hovorí, že umenie riešiť úlohy je praktické umenie podobne ako plávanie, hra na klavíri či bicyklovanie. Ak sa ho máme naučiť, potom ho treba robiť. Teda ak sa máme naučiť plávať je potrebné začať plávať a potom sa postupne zdokonaľovať. Okrem tejto všeobecnej rady možno nájsť u Pólyu aj viacero špeciálnejších rád. Čitateľ ich nájde v [4].
Učiť sa plávať vyučovaním plávania
Z vlastnej skúsenosti viem, a niektorí kolegovia mi potvrdili, že sa im stalo niečo podobné, že pri vytváraní toho „hlbšieho porozumenia" veľmi pomôže, keď človek začne daný predmet vyučovať alebo vysvetľovať kolegom. Keby sa nám podarilo, aby študenti vysvetľovali niektoré časti látky kolegom na seminároch alebo inak, určite by to tým vysvetľujúcim pomohlo. Z rozprávania študentov viem, že v niektorých ročníkoch existuje istý študent -„guru", ktorého kolegovia chodia požiadať o vysvetlenie ťažších vecí. Rozdiel medzi gurum a ostatnými časom prirodzene narastá, lebo guru sa dostáva do polohy začínajúceho učiteľa. Takíto guruovia niekedy existujú aj v triedach základnej a strednej školy.
Porozumenie úlohe využitím pohľadu z iného uhla
Vo svojej známej knižke [5] Feynman hovorí, že každý teoretický fyzik, ktorý za niečo stojí, pozná šesť alebo sedem rôznych teoretických reprezentácií tej istej fyziky. Toto tvrdenie možno asi presunúť o niekoľko poschodí nižšie do školskej fyziky. Mohli by sme ho snáď preformulovať nasledovne. Každý žiak alebo študent (a tým skôr vyučujúci) vie pristúpiť k danému problému aspoň z dvoch hľadísk. V niektorých úlohách je to mimoriadne dôležité.
Príklad: Dedko rybár vesluje proti toku pomaly tečúcej rieky. Keď prechádza pod mostíkom zavadí udicou o mostík a udica vypadne z loďky. Dedko si to ale nevšimne a vesluje ďalej. Po čase sa rozhodne začať chytať ryby a domyslí si čo sa stalo. Otočí loďku a vesluje za udicou. Stretne sa s ňou o pol hodiny, vo vzdialenosti pol kilometra od mostíku. Akou rýchlosťou tečie rieka?
Úlohu sa možno pokúsiť riešiť v rôznych súradných sústavách.
Žiaci zväčša začnú uvažovať v sústave spojenej s brehom rieky, zavedú rýchlosť rieky voči brehu, rýchlosť rybára voči rieke, napíšu rovnice a zistia, že nejaký údaj im chýba.
Ak začnú počítať v sústave spojenej s riekou, uvedomia si, že doba od straty udice k otočeniu loďky musela trvať rovnako dlho ako doba od otočenia loďky po stretnutie s udicou. S týmto údajom možno úlohu vyriešiť aj bez papiera a ceruzky.
Niekedy ale žiaci ani po vysvetlení neveria, že tieto dve doby sú rovnaké. Potom pomáha nájdenie analogického problému. Napríklad cestujúci vo vlaku sa chce isť najesť do jedálneho vozňa, ale ihneď potom ako si sadne, zistí, že peňaženku si nechal v kupé. Bude mu cesta naspäť trvať rovnako dlho ako cesta tam?
Understanding as „standing under"
Kolega Laco Kvasz raz vymyslel pekné spojenie „Understanding as standing under" [6], ktoré vystihuje jeden aspekt „porozumenia". V tomto zmysle porozumenie znamená zaradiť problém, či otázku, „tam, kde patrí" v rámci siete spomínanej v bode v). Uveďme ilustráciu z QM. Ak máme spočítať ako sa zmení určitá spektrálna čiara v danom statickom vonkajšom poli, vieme rozhodnúť, že vplyv poľa môžeme považovať za malú poruchu a vieme, že na výpočet možno použiť poruchovú metódu pre stacionárne stavy. Na precvičovanie upevňovanie spomínanej siete sú užitočné diskusie o tom kde v rámci danej teórie patrí určitý problém, o čom hovorí určitý experimentálny výsledok, aj to ako by sa daný problém dal experimentálne objasniť. Porozumenie problému v zmysle Diraca, Feynmana a Wheelera
tom, čo znamená porozumieť rovnici existuje zaujímavý citát od Diraca. Podľa neho rovnici rozumieme vtedy, ak vieme o jej riešení povedať niečo bez toho, aby sme ju explicitne vyriešili. Stretol som sa už aj s tým, že podobné vyjadrenie o riešení problému bolo pripísané Feynmanovi.
Na ilustráciu tohto pohľadu si môžeme zobrať príklad z úvodného kurzu fyziky.
Príklad: Kovová guľka padá vo vode. Vypočítajte závislosť jej rýchlosti od času.
Po istej diskusii sa príde k rovnici (os z je orientovaná smerom nadol)
ma = mg - Cv
ktorú môžeme s využitím a=d2z/dt2, v=dz/dt prepísať na diferenciálnu rovnicu a explicitne vyriešiť pri daných počiatočných podmienkach, napríklad z=0, v=0. A napokon môžeme riešenie znázorniť graficky. Keby sme ale chceli zistiť, či študenti rovnici rozumia v Diracovom zmysle, mali by sme ich ešte pred riešením rovnice požiadať, aby sa pokúsili kvalitatívne uhádnuť nejaké vlastnosti výsledku, napríklad tvar závislostí a(t), v(t) a z(t) ešte pred tým, ako by sa s riešením rovnice začalo. Samozrejme, o navrhovaných závislostiach by sa mala spraviť diskusia o tom, ktorý návrh a prečo je dobrý. Ak študenti na takýto postup nie sú zvyknutí, je možné rovnicu vyriešiť, nakresliť príslušné grafy a potom prediskutovať prečo museli vyjsť tak ako vyšli.
Peknú diskusiu k tomuto možno nájsť v článku Vlada Černého "The role of qualitative discussion in problem solving" [7]. Okrem toho, že článok hovorí o potrebe kvalitatívnej analýzy získaného výsledku, kladie dôraz aj na to, že po získaní výsledku je pre zvýšenie porozumenia užitočné prediskutovať limitné situácie. V našom prípade by to mohlo odpovedať situáciam, keď a) vplyv gravitácie je oveľa väčší ako vplyv trenia, b) trenie dominuje.
Rovnako možno riešiť problém, v ktorom sa vyšetruje pohyb auta v prostredí (vzduchu), kde sila trenia je úmerná kvadrátu rýchlosti. V tomto prípade môžme riešenie získať numericky jednoduchým programom, a kvalitatívne porozumenie problému pred jeho numerickým riešením je veľmi užitočnou kontrolou proti výskytu chýb v programe.
Dôležitosť kvalitatívnej analýzy vidno aj z nasledujúceho citátu. Jeden z najznámejších expertov na všeobecnú teóriu relativity a Feynmanov školiteľ (supervisor jeho PhD práce) J.A.Wheeler dával študentom takúto radu: "Nikdy nezačínajte počítať, kým neviete, čo vám má vyjsť. Pred každým fyzikálnym výpočtom vykonajte odhad výsledku a pred každým odvodzovaním skúste použiť jednoduché fyzikálne argumenty (symetriu, invariantnosť, zákony zachovania). Hádajte riešenie každého paradoxu či hlavolamu -odvahu- nik iný nemusí vedieť ako ste hádali. Preto hádajte rýchlo - inštinktívne. Správny odhad tento inštinkt posilní. Zlý odhad prinesie osviežujúce prekvapenie. V obidvoch prípadoch je však život - nech je akokoľvek dlhý - omnoho zábavnejší." Citát je z veľmi peknej knižky určenej širšej verejnosti [8]. Jej preklad do slovenčiny sa v súčasnosti pripravuje. Veľmi odporúčame budúcim učiteľom a žiakom a študentom so záujmom o fyziku. Mimochodom, Wheeler tento princíp nazval s trochou humoru "Wheelerovo prvé poučenie".
Toto "prvé poučenie" v skutočnosti hovorí, že pred explicitným riešením problému sa máme snažiť, aby sme získali isté intuitívne porozumenie. Dobrí fyzici a dobrí študenti takto aj postupujú.
Napokon, väčšina veľkých myšlienok sa rodí ako kvalitatívny argument. Za mnohé len jednu ilustráciu. Albert Einstein povedal pri viacerých príležitostiach, že za najkrajšiu svoju myšlienku považuje to, keď si uvedomil, že na človeka vo výťahu padajúcom voľným pádom nepôsobí gravitácia. To znamená, že gravitačné pole možno odtransformovať prechodom do vhodnej súradnej sústavy. Na tejto myšlienke potom po šesťročnej namáhavej práci vybudoval svoju všeobecnú teóriu relativity.
Na to, aby si uvedomil, že táto myšlienka je "nosná" a že sa na nej asi dá vybudovať nová teória gravitácie musel mať a mal obrovskú intuíciu. Na niektoré Einsteinove portréty, najmä na tie s trochou karikovania, mu autori prikreslili väčší nos ako mal. Bola v tom aj úcta k tomu, aký mal "nos" na fyzikálne problémy.
Ilustrácie z QM
Uvediem teraz niekoľko jednoduchých úloh z úvodu do kvantovej mechaniky, kde sa mi málo darí primäť študentov k tomu, aby používali kvalitatívnu analýzu problémov.
Príklad: Vlnová funkcia v základnom stave atómu vodíka je ψ(r) = C.exp(-r/a1) (pričom hodnoty C, a1 sú explicitne zadané, pre a1 aj numericky). S akou pravdepodobnosťou nájdeme elektrón v jadre, ak jadro berieme ako guľôčku s polomerom rJ = 0.7 10-15m ?
Väčšina študentov začne bez veľkého uvažovania počítať metódou VDV, urobí kvadrát absolútnej hodnoty vlnovej funkcie a integruje ho cez objem jadra. Integrál obsahuje exponenciálnu funkciu násobenú polynómom a študent príde metódou per partes k výsledku. Pri výpočte ľahko vznikajú chyby a výsledok je potom nepredvídateľný. Napriek tomu, že vôbec nie je jasné, prečo vyšlo to, čo vyšlo, študent podčiarne dvakrát výsledok a je spokojný.
Niektorí študenti si ale uvedomia, že v hre je malý parameter rJ/a1 , uvedomia si aj to, že vlnová funkcia sa v jadre len máličko mení a napíšu výsledok rovno ako
|ψ(0)|2 (4/3) π rJ3
Niektorí si na základe tohto povedia, že spočítajú aj ďalšiu korekciu, zapíšu štandartný vzorec pre rozvoj exp(-r/a1) a spočítajú jednoduchým integrálom korekciu.
Prvý postup je skôr VDV, druhý je „insightful problem solver".Uvediem ešte niekoľko problémov, ktoré to ilustrujú.
Príklad: Elektrón, nachádzajúci sa v nekonečne hlbokej potenciálovej jame o dĺžke L, je v stave opísanom vlnovou funkciou ψ(x) = Cx(L-x). S akou pravdepodobnosťou ho nájdeme v základnom, v prvom excitovanom a v druhom excitovanom stave?
Pri riešení problému väčšina študentov začne okamžite dosadzovať do (spravidla) správnych vzorcov, v ktorých počíta kvadrát prekryvu ψ(x) s vlnovými funkciami spomínaných troch stavov, teda s sin(πnx/L) pre n = 1, 2, 3.
Niekedy študent získa rozumné výsledky, inokedy nie. Tí, ktorí postupujú ako "insightful problem solver" si ale najprv nakreslia obrázok, na ktorom je parabola
Cx(L-x) a tri spomínané sinusovky. Z obrázku ľahko vyčítajú, že pravdepodobnosť P1 pre nájdenie elektrónu v základnom stave bude len o máličko menšia ako jedna, pre prvý excitovaný stav je pravdepodobnosť striktne nulová a pre druhý excitovaný stav bude maličká a len o niečo menšia ako 1- P1.
Príklad: Elektrón je v stave danom vlnovou funkciou ψ(x). Stredná hodnota hybnosti v tomto stave je
a stredná kvadratická odchýlka v hybnosti je <(Δp)2>. Nájdite strednú hodnotu hybnosti a strednú kvadratickú odchýlku hybnosti v stave
φ(x) = exp(ip0x/ħ) ψ(x)
Aj toto sa dá riešiť dosadením do príslušných vzorcov a po troche počtov študent dostane správny výsledok: stredná kvadratická odchýlku zostane rovnaká a stredná hodnota hybnosti sa posunie o hodnotu p0. Výsledok je ale natoľko prostý, že vzbudzuje podozrenie, že by sa dal získať aj jednoduchšie. V skutočnosti stačí zapísať
ψ(x) = ∫ ψ (p) exp (ipx/ħ) dp
a podobne pre φ(x) a vidνme hneď, že v priestore hybností je φ(p) posunuté voči ψ(p) o p0 a odtiaľ okamžite vyplýva celý výsledok.
Príklad: Nájdite v prvom a v druhom ráde stacionárnej poruchovej metódy korekciu k energii základného stavu dvojhladinovej sústavy, keď H0 je 2x2 matica, ktorá má v diagonále reálne čísla a,b a inde nuly a H'=λσx, kde σx je jedna z Pauliho matíc.
Väčšina študentov niečo spočíta, ale nenapadne ich, že táto triviálna úloha je presne riešiteľná a riešenie je možné rozvinúť do mocnín λ a overiť správnosť výsledku. Mimochodom, ťažko možno nájsť úlohu, ktorá by jednoduchšie ilustrovalo to ako funguje poruchová metóda. Podobne to často vyzerá s následujúcim príkladom.
Príklad: Nájdite poruchovou metódou korekciu k energii základného stavu lineárneho harmonického oscilátora s poruchou H'=λx2. Úloha je znova jednoducho riešiteľná v uzavretom tvare, ale len málo študentov porovná výsledok získaný poruchovou metódou s prvým členom v rozvoji presného riešenia.
Príklad: Použite pre približný výpočet jednorozmerného problému so zadaným potenciálom V(x) variačnú metódu s vlnovou funkciou parametrizovanou ako
Ψ(x) = C.exp(-β|x|)
Viacerí študenti dosadia túto vlnovú funkciu do vzorca pre strednú hodnotu energie a vôbec im nevadí, že stredná hodnota kinetickej energie im vychádza záporná. Príklad je tak trocha chyták, lebo funkcia Ψ(x) má nespojitú prvú deriváciu v bode x=0.
Ale problému sa dá ľahko vyhnúť, ak si uvedomíme čo sa deje a vo výraze pre strednú hodnotu kinetickej energie urobíme jednu úpravu per partes.
Príklad: Pri odhade energie základného stavu variačnou metódou pre
H=-(ħ2/2m)d2/dx2 – Vo exp(-2βx2)
študent použije skúšobnú vlnovú funkciu typu Ψ(x) = C.exp(-x2/α2) a pri výpočte strednej hodnoty potenciálnej energie v lepšom prípade dostane
Vo / {1+2βα2}1/2
Výpočet nie je veľmi komplikovaný, ale zmýliť sa je možné a kontrola vyšetrením limitných prípadov je užitočná. Máloktorý študent vyšetrí limitný prípad, keď α2 je oveľa menšie ako 1/(2β), všimne si, čo sa vtedy deje so skúšobnou vlnovou funkciou a zistí, že výsledok je rozumný, urobí si aj opačný limitný prípad, tiež si všimne, čo sa pri ňom robí s vlnovou funkciou a zistí, že výsledok je tiež rozumný. Súhlas limitných prípadov s očakávaním nedokazuje správnosť výsledku, ale môže vylúčiť chybné výsledky.
Príklad: Nájdite operátor, ktorý urobí rotáciu spinoru okolo danej osi o daný uhol. Tiež je to jednoduchý príklad, a vyšetrenie jednoduchých špeciálnych prípadov a spočítania stredných hodnôt priemetu spinu na určitú os môže vylúčiť chybu.
Príklad: Elektrón viazaný na úsečku o dĺžke L je v čase t=0 v stave opísanom vlnovou funkciou
Ψ(x)= (1/L)1/2 [ sin(πx/L) + sin(2πx/L) ]
Aká bude vlnová funkcia po čase t1= ħ/E1, kde E1 = π2 ħ2 / (2mL2) a aké budú stredné hodnoty x v čase t=0 a t=t1?
Príklad sa, samozrejme, dá ľahko vyriešiť aj bez kreslenia obrázkov, ale pomocou obrázku študent získa potrebný vhľad do problému.
Poznámky k viacerým príkladom:
Ak v nejakom príklade vychádza numerický výsledok, povedzme, že z údaju o skupenskom teple potrebnom na vyparenie vody zistíme, že na vytrhnutie jednej molekuly vody z kvapaliny potrebujeme energiu 0.42eV, je takmer vždy potrebné položiť si otázku „je to málo, alebo je to veľa?". Ak toto číslo porovnáme napríklad s energiou potrebnou na ionizáciu atómu vodíka a vieme, že v prvom prípade ide o väzbu vodíkovým mostíkom (alebo ak študent o tom nevie, môže si predstaviť van der Waalsovu silu) a v druhom o coulombovskú väzbu, výsledok na prvý pohľad neprotirečí zdravému rozumu. Keď počítame nejakú veličinu, napríklad korekciu druhého rádu k energii základného stavu nabitej častice považovanej za lineárny harmonický oscilátor vo vonkajšom statickom elektrickom poli, je vždy dobre si uvedomiť, čo to vlastne z fyzikálneho hľadiska počítame. V tomto príklade je to energia indukovaného dipólového momentu vo vonkajšom poli. Tento fyzikálny pohľad (aj vhľad) nám umožní odhadnúť výsledok napr.
z argumentov založených na klasickej fyzike.
Z dôvodov, o ktorých ešte budeme hovoriť nižšie, je vždy užitočné pokúsiť sa opísať výsledok slovne, napríklad tak, že si povieme, čomu je výsledok priamo úmerný, čomu nepriamo úmerný a odtiaľ je krok k tomu, aby sme sa zamysleli nad tým, prečo by to tak malo, alebo nemalo byť.
Ak prídete na viac riešení problému, prezentujte ich – alebo prezentujte to menej tradičné. Ako príklad uveďme jednoduchý problém: Dokážte, že pre operátory x, px = - iħd/dx, platí komutačný vzťah [xn, px] = iħ(n-1)xn-1. Pri štandardnom postupe aplikujeme komutátor na nejakú funkciu a vidíme hneď výsledok. Ale dá sa postupovať aj cex rekurentný vzťah
xnpx – pxxn = xn-1(xpx - pxx) + xn-1pxx - pxxn
= iħxn-1 + xn-1pxx -pxxn
rovnakým trikom presunieme v druhom člene x za px a postupne sa dopracujeme k správnemu výsledku iħxn-1. Keď študent použije pri riešení úlohy na skúške tento netradičný postup, vie skúšajúci, že asi neopisoval a že vie samostatne myslieť.
3. Kvalitatívne porozumenie, komunikácia a schopnosť spozorovať a formulovať problém
V tejto časti by som chcel len stručne upozorniť na to, že len kvalitatívne porozumenie problému, alebo porozumenie v zmysle Diraca, Feynmana a Wheelera umožňuje ten typ komunikácie, ktorý fyzici dobre poznajú zo seminárov a diskusií. Uvediem na to príklad odpovedajúci úvodnej prednáške z kvantovej mechaniky. Predpokladajme, že študenti na prednáške preberali Starkov jav pre lineárny harmonický oscilátor a dozvedeli sa, že lineárny Starkov jav je v tomto prípade nulový a zmeny energetických hladín sa v poruchovej teórii objavia až v druhom ráde. Potom skupina študentov pripravuje referát o Starkovom jave v atóme vodíku, pričom skoro zistia, že na hladine s n = 2 je nenulový už príspevok v prvom ráde. Predpokladajme ďalej, že jeden zo študentov (ďalej študent A), ktorí sa na referát pripravujú sa stretne v bufete s kolegom (ďalej študent B), ktorý do skupiny nepatrí. A v tejto situácii má študent A vysvetliť študentovi B, prečo je v atóme vodíku v hladine s n = 2 lineárny Starkov jav nenulový. Diskusia bude prirodzene o tom, že hladina s n = 2 je degenerovaná, treba použiť poruchovú metódu pre degenerované stavy a tam sa objavia nenulove „krížne členy" už v prvom ráde. V prípade poľa v smere osi z to bude člen medzi stavmi (2,1,0) a (2,0,0). Ak by študenti boli schopní viesť takúto diskusiu (oveľa podrobnejšiu ako som napísal), znamenalo by to, že sú už na slušnom stupni chápania elementárnej kvantovej mechaniky.
Domnievam sa, že jedna z podstatných funkcií seminárov a diskusií je v tom, že nútia zúčastnených ku kvalitatívnemu porozumeniu problémov. Toto je asi aj podstatné pre možnosť objaviť nejaký problém a pri jeho riešení porozumieť veci hlbšie.
Len ako špekuláciu si predstavme predchádzajúcu situáciu, v ktorej študent B už pochopil argument študenta A a kladie otázku: "Fajn, celá vec je v degenerácii hladiny n = 2. Ale predstavme si, že by som tú degeneráciu sňal, napríklad tak, že by som Coulombov potenciál násobil nejakým tieniacim faktorom, napríklad exp(-ar). Potom by som pri a≠0 mal stále nulový lineárny Starkov jav a v limite a→0 by mi ten lineárny člen naraz vyskočil. Nie je to čudné?". Keby sa nám podarilo dostať (aspoň niektorých) študentov k takýmto diskusiám a najmä k takémuto spôsobu uvažovania, bolo by to určite dobré. Vyžadovalo by si to ale asi netradičné postupy pri vyučovaní a nové typy úloh.
4. Čo znamená (z praktického hľadiska študenta) rozumieť kvantovej mechanike?
Pod praktickým hľadiskom tu mám na mysli niečo praktické až skôr pragmatické. Otázka v nadpise odstavca by snáď mala radšej znieť: „Ako mám študovať počas semestra a ako sa mám pripraviť na skúšku?" Odpoveď na ňu prirodzene závisí od toho, čo študent od svojho štúdia očakáva a aké sú jeho ciele. Odporúčam študentom, aby si niekedy sami, alebo s kolegami, posedeli a podumali o tom, čo od svojho štúdia a od rokov, ktoré po ňom prídu, očakávajú a čo by v živote chceli robiť, prípadne v ňom dosiahnuť. Niektorí študenti, aj keď si to možno ani jasne nesformulujú, používajú „stratégiu dostatočného zisku pri minimálnej námahe"a svoje štúdium a prípravu na skúšku zamerajú na to, aby s istou pravdepodobnosťou pri skúške ako tak obstáli. Stratégia je primeraná vtedy, ak má študent pocit, že na tomto štúdiu pristál omylom, že vlastne chce ísť zarábať slušné peniaze do súkromnej firmy, ale predsa len by chcel mať nejaký diplom vo vrecku, že všetko je aj tak popsuté a pracovať sa neoplatí, a pod. Študent s týmto postojom cez semester skôr nepracuje a na skúšku sa pripravuje len krátko. Potrebuje vedieť riešiť štandardné „end of chapter problems". To je remeslo, bez ktorého sa nedá, alebo dá len ťažko. V najhoršom prípade sa niekoľko vybraných úloh naučí naspamäť, alebo si zhotoví dobrý ťahák (a s pomocou kolegov a snáď aj Božou) to uhrá na tú troječku. Ale niekedy motyka vystrelí a skončí aj lepšie. Na skúške študenta s touto stratégiou a s touto metódou prípravy na skúšku poznať podľa toho, že sa úlohy rieši buď namemorovaným vzorom a pokiaľ úlohu nemá naučenú, snaží sa ju riešiť metódou VDV.
Pri úlohách si nekreslí obrázky, nerobí si pre kontrolu riešenia v limitných prípadoch a nedá sa s ním diskutovať o kvalitatívnych črtách riešenia.
Táto stratégia je trocha riskantná a bude ešte riskantnejšia, keď časť bodov k udeleniu skúšky a známky bude pochádzať z aktivity a výsledkov dosiahnutých na cvičeniach. Navyše treba rátať s tým, že investícia je síce relatívne malá, ale celá sa čoskoro úplne stratí. Učiteľ musí ale rátať s tým, že časť študentov má tieto ciele štúdia a používa k nim primeranú stratégiu. Jeden z jeho možných postojov je „bojovať" proti tomu všetkými možnými prostriedkami. Druhá je vziať to na vedomie, konštatovať, že takýto študent toho z kvantovej mechaniky síce veľa vedieť nebude a veriť, že študent získa pobytom v akademickom prostredí predsa len istý rozhľad a kultúru. Nuž, priznávam, že „boje" ma nepriťahujú. Asi je to na škodu veci, ale je to tak. Druhá stratégia, ktorú, našťastie, niektorí študenti používajú, spočíva v snahe porozumieť aj za cenu potrebnej námahy a uspieť na jedničku, či v najhoršom na dvoječku. Študent vedený týmito najlepšími úmyslami zväčša postupuje tak, že prepočíta odvodenia v učebnici, alebo v prednáške, prepočíta veľa príkladov a -ak je to možné porovná riešenia so správnym výsledkom (číslom uvedeným v zbierke). Týmto študentom by som chcel odporúčať, aby urobili aj niečo navyše:
Pokúšali sa zostaviť logické "mapy" každého preberaného celku a zamýšľali sa nad tým, prečo sa postupovalo tak, ako sa postupovalo. Aby porozmýšľali nad tým, či sa nedá postupovať aj inak - k tomu sa dá dostať napríklad porovnaním postupov použitých v rôznych učebniciach. Aby sa pokúsili oddeliť to, čo sú podstatné myšlienky a čo je "remeslo". K tomu sú veľmi dobré diskusie s učiteľmi na cvičení a na prednáške, alebo diskusie s kolegom, ktorý tiež chce veciam hlbšie porozumieť.
Pred riešením každej úlohy sa pokúsili získať "vhľad" do problému To si vyžaduje najprv porozumieť úlohe, napr. kreslením obrázkov, rozmerovou analýzou, nájdením analógie k danému problému.
Pred riešením ulohy sa pokúsiť uhádnuť niečo o jej riešení bez podrobného výpočtu (porozumenie v zmysle Diraca, Feynmana a Wheelera)
Pred riešením úlohy, alebo po ňom nájsť riešenia limitných prípadov, ktoré sú často oveľa jednoduchšie a možno ich uhádnuť.
Nájsť analógie k danému problému.
Vedieť opísať danú tému kvalitatívne a bez použitia rovníc,
Vedieť popísať postup riešenia daného príkladu kvalitatívne a bez explicitného použitia rovníc
K porozumeniu určitého poznatku pomáha aj znalosť histórie - teda toho, ako sa na tento poznatok prišlo.
Takéto veci by sa dali zaradiť do cvičení ako eseje, ktoré by študenti písali a v prípade dobrej eseje aj predniesli na cvičení alebo na prednáške.
Porozumenie prehlbujú aj aplikácie daného poznatku, či danej myšlienky a to aj vtedy ak nie sú rozoberané do technických podrobností. Aj toto by mohlo a asi aj malo byť témou pre eseje či referáty študentov
Takéto postupy štúdia zaberú samozrejme viac času ako postup vychádzajúci zo stratégie dostatočného výsledku pri minimálnej námahe, ale vedú k skutočnému porozumeniu.
5. Ako prebieha skúška z QM a ako sú hodnotené odpovede
Skúška má dve časti, písomnú a ústnu. Na písomnej časti si študent vytiahne tri príklady. Úplný zoznam príkladov dostávajú študenti vopred. (Neviem, či je to rozumné, lebo niektorí študenti sa zopár riešení naučia naspamäť a „idú na to".). Ak sa náhodou stane, že niektorý z príkladov patrí k látke, ktorá v danom semestri nebola odprednášaná, môže si študent príklad vymeniť. Keď študent skončí prácu na príkladoch, prinesie riešenie a začína ústna časť skúšky. Ústna skúška spočíva zväčša v doplňujúcich otázkach k študentovmu riešeniu príkladov. Študenti si spravidla málo uvedomujú, že písomné riešenia poskytujú (či vnucujú) istý obraz o ich spôsobe myslenia a práce. Odporúčam preto, aby si študent radšej dal tú dodatočnú námahu a riešenie príkladu logicky usporiadal, pričom podrobné výpočty môže uviesť ako akúsi prílohu. Ak je riešenie príkladu prezentované neusporiadane, nevidno z neho cestu, ktorou študent postupoval ani spôsob akým k výsledku prišiel, navodzuje to myšlienku, že je to skôr prípad „random search problem solver" ako „insightful problem solver". Niekedy sa stane, že už z písomnej časti práce vidno, že študent rozumie QM v zmysle bodov iv) – vi). Je to napríklad vtedy, ak k riešeniu príkladu pripíše aj kvalitatívne argumenty a rádové odhady, ktoré ukazujú aj bez explicitného počítania, že výsledok vyšiel zhruba tak, ako musel vyjsť. Potom sa ho spýtam jednu, či dve otázky typu "a toto máte odkiaľ?" a zapíšem mu najlepšiu známku. V tomto prípade je ústna časť veľmi krátka. Ak riešenia príkladov nenaznačujú, že študent rozumie QM v tomto zmysle, snažím sa ďalšími otázkami zistiť mieru porozumenia. Doplňujúce otázky sú vyberané tak, aby bolo vidno, ktoré z typov porozumenia i) – vi) študent dosiahol. Viaceré z otázok si možno ľahko predstaviť z diskusie o niektorých príkladoch v časti 4. Predsa len tu uvediem niekoľko príkladov otázok a modelových odpovedí.
Študent rieši úlohu, v ktorej má spočítať Bornovu aproximáciu (v prvom priblížení) pre rozptyl na nejakom potenciáli. Postupuje tak, že priamo napíše vzorec pre amplitúdu rozptylu a potom počíta príslušný integrál.
Prirodzená doplňujúca otázka je „Odkiaľ je táto východzia formulka? Nechcem podrobné odvodenie, stačí mi len náčrt". Ak študent odpovedá „To si tak pamätám", alebo „Tak sme si to odvodili", alebo „Tak je to odvodené v knižke", naznačuje, že neprišiel k porozumeniu v zmysle bodu v) a že mu nie sú jasné súvislosti. K tomu istému vedie aj otázka „Odkiaľ sa Vám tu na pravej strane vzal faktor (-1/4π)(2m/ħ2) ?". Ak študent vie, že prvý faktor je z Greenovej funkcie a druhý z úpravy SchR, tak veci rozumie v zmysle bodu v).
Schopnosť kvalitatívnej analýzy a istej pružnosti mysle, možno rýchlo otestovať napríklad otázkou. "Predstavte si, že počítame Bornovu aproximáciu – keď už sme raz pri nej na dvoch sférických potenciálových jamách, jedna má polomer a0 a hĺbku V0, druhá polomer a1 a polomer V1. Pritom platí V0a03=V1a13. Ďalej platí, že a0 je oveľa menšie ako a1. Mohli by ste bez počítania povedať niečo o vzťahu oboch amplitúd?". To je pomerne ťažké, ale ak to študent po troche podumania urobí, netreba ho ďalej skúšať a stačí mu zapísať jedničku.
Prax však ukazuje, že len malé percento študentov má porozumenie na tejto úrovni a súvislosti medzi jednotlivými argumentmi sú pomerne krehké. Vtedy je hodnotenie ťažšie. Ak študent riešením príkladov ukáže, že príklady v príprave na skúšku poctivo prepočítal, niektoré súvislosti sú mu jasné viac (iné menej), niekedy vie použiť aj kvalitatívny argument, alebo odôvodnenie výsledku vhodným argumentom, ponúknem mu dvojku (a niekedy aj jednotku). Ak sa ukáže, že poznatky o základných zákonoch a vzťahoch sú zväčša len namemorované a riešenia úloh sú tiež len viac – menej naučené naspamäť ponúkam trojku (aj keď pri dokonalom namemorovaní sa dá uhrať aj dvoječka).
Uvedomujem si, že ústna skúška a jej hodnotenie je subjektívna vec. Objektívnou alternatívou je len písomná skúška. Nevýhoda je v tom, že náš skúšobný poriadok predpisuje aj ústnu časť a navyše sa pri písomnej skúške nedajú klásť doplňujúce otázky, z ktorých vidno ako študent uvažuje.
Domnievam sa, že našou úlohou, ako učiteľov, pri prednáškach, cvičeniach a skúškach, nie je donútiť študentov, aby sa na deň skúšky niečo naspamäť naučili (a zabudli to o niekoľko týždňov). Skôr si myslím, že študentov by sme mali viesť k tomu, čo nazývame „fyzikálnym myslením" (zhruba povedané je to asi kritické myslenie plus body iv) až vi)) a to sa – hoci neveľmi úspešne – snažím.
6. Záverečné poznámky
Nespomínam si na to, že by počas našich štúdií s nami niekto z učiteľov bol diskutoval o tom, čo to znamená „rozumieť fyzike".
Skôr sa mi zdá, že, tak ako to asi študenti vždy robia, vytušili pravidlá hry a prijali ich. Patrilo k nim riešiť príklady na cvičeniach a byť schopný reprodukovať na skúške časti látky odprednášané na prednáškach a zväčša aj dostupné v učebniciach alebo v skriptách. Pri príprave na skúšku si niektorí z nás prepočítali aj „medzivýpočty", ktoré v učebniciach neboli explicitne urobené a poriešili odporúčané príklady na konci kapitol a príklady s ktorými sme sa stretli na cvičeniach. Neskôr som sa dozvedel, že u nás sa počítalo oveľa menej príkladov ako napríklad na dobrých univerzitách v USA. Možno by bolo užitočné si pri mnohých z aktivít, ktorými naši študenti prechádzajú položiť explicitne otázku v akej miere tá, či oná aktivita prispieva k rastu „porozumenia fyzike" u našich študentov a doktorandov. Mám na mysli nielen reprodukciu učiva študentmi a riešenie „end of chapter problems", ale aj veci, ktoré asi patria k hlbšiemu porozumeniu ako: schopnosť analyzovať problém, riešenie ťažších problémov, kvalitatívny vhľad do problému, schopnosť vysvetliť základy teórie inému, schopnosť nájsť zaujímavý problém alebo nájsť tému na referát či seminár, schopnosť pozrieť sa na problém z rôznych strán, analyzovať myšlienkový experiment a nájsť jeho silné a slabšie miesta, zhodnotiť riešenie problému, schopnosť analyzovať experimentálne dáta z hľadiska danej teórie, schopnosť analyzovať experiment, schopnosť navrhnúť experiment, ktorý by mal potvrdiť alebo vyvrátiť určitú teóriu. Keby sme ale chceli, aby sa študenti, alebo doktorandi na takýchto činnostiach podieľali, museli by sme to nejako zahrnúť aspoň do nepovinnej časti výuky a tiež to, čo študenti urobia primerane hodnotiť, napríklad bodmi, na základe ktorých by študent získal výslednú známku. Ale všetko toto znamená spústu práce zo strany učiteľa a motiváciu zo strany študenta.
