měkkou harmonickou stupnici tóny v poměru čísel

120, 135, 144, 160, 180, 192, 216, 240

V obou dvou stupnicích jsou od sebe dva libovolné tóny s dvojnásobnou frekvencí vzdáleny právě osm tónů, podle čeho se interval dvou tónů s frekvencemi v poměru 2 : 1 nazývá oktáva. Z podobných příčin se kvinta a kvarta nazývají intervaly určené relativními výškami. V obou dvou stupnicích to jsou vzhledem k základnímu tónu relativní výšky pátého a čtvrtého tónu.

V obou dvou stupnicích se pátý tón nazývá dominantní a čtvrtý subdominantní. Významnou vlastností tvrdé stupnice tónů je, že terc-kvintové akordy založené na základním, subdominantním a dominantním tónu jsou všechny tři totožné a tvrdé, jako to vyplývá z příslušných poměrových čísel

24 : 30 : 36 = 32 : 40 : 48 = 36 : 45 : 54 = 4 : 5 : 6

Podobné terc-kvintové akordy, založené na základním, subdominantním i dominantním tónu jsou totožné i v měkké stupnici, kde se nazývají měkkým terc-kvintovým akordem.

120 : 144 : 180 = 160 : 192 : 240 = 180 : 216 : 270 = 10 : 12 : 15

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. dur 24 27 30 32 36 40 45 48
1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15

moll 120 135 144 160 180 192 216 240
1 9/8 6/5 4/3 3/2 8/5 9/5 2
9/8 16/15 10/9 9/8 16/15 9/8 10/9

Tabulka 3 Tvrdá a harmonická měkká hudební stupnice

V tabulce 3 v prvním řádku jsou vždy uvedena celá čísla, která určují frekvenci jednotlivých tónů tvrdé a měkké stupnice, v druhém řádku jejich sousedních tónů. Z údajů této tabulky vidíme, že intervaly tvořené vždy dvěma sousedními tóny obou dvou stupnic, tzv. sekundy, jsou trojí. Nazývají se velký celý tón (9 : 8), malý celý tón (10 : 9) a půltón (16 : 15). První dva intervaly jsou jen málo odlišné. Jejich rozdíl se nazývá syntonická koma a je to interval, který pro obyčejný sluch značí už praktickou totožnost dvou tónů. Proto se v hudbě tento rozdíl obyčejně zanedbává a malý celý tón a velký celý tón se zahrnují pod společný název celý tón. Součet dvou půltónů je však větší než jakýkoliv z obou celých tónů, protože , avšak .

Podobně jako sekundy jsou v tvrdé a měkké stupnici různé i ostatní intervaly. Například kvintu mezi druhým a šestým tónem tvrdé stupnice tvoří tóny s relativní výškou 40 : 27 = 1,48 < 1,5. To má za následek, že kdybychom chtěli vytvořit novou tvrdou stupnici, vycházející například z druhého tónu už dané stupnice, například v podobě napnutých strun i fyzikálně realizované tvrdé stupnice, tak bychom při úplné přesnosti mohli použít jen malý počet tónů. Násobením čísla 27 relativními výškami tónů tvrdé stupnice vzhledem k jejímu základnímu tónu dostáváme skutečná čísla:

27, , 27.2 = 54

Nevyhovuje tedy nejen čtvrtý a osmý tón původní stupnice, kde jsou rozdíly největší, ale ani třetí a šestý.