Hudobná akustika - ladenie

Pythagora nezaujímali len trojuholníky

Hudba a matematika

Keď sa raz Pythagoras prechádzal po trhu, kde trhovníci ponúkali na predaj okrem iného zvončeky, všimol si, že čím je zvonček väčší, tým nižší zvuk vydáva. Podobnú vec si všimol idúc okolo kováčskej dielne. Menšia nákova vydávala pri úderoch kladiva vyššie tóny a väčšia nákova zas nižšie tóny. V hlave starovekého matematika a fyzika sa začali črtať prvé myšlienky – vzťah medzi hudbou a matematikou. Nelenil ani chvíľu. Požičal si od kováča dve nákovy, u ktorých si všimol, že ich tóny sú od seba vzdialené o jednu oktávu. Odvážil ich a zistil, že pomer ich hmotností je 2:1. Od iného kováča si požičal nákovy, u ktorých boli tóny od seba vzdialené o kvintu. Tu bol pomer hmotností 3:2. Pythagoras si uvedomil, že ak sa pomer hmotností, dĺžok alebo hrúbok dvoch predmetov dá vyjadriť malými celými číslami, tóny, ktoré počujeme, tvoria najkrajšie čisté intervaly : oktávy, kvinty a kvarty. Frekvencia kmitania dvojnásobne ťažšieho telesa je dvojnásobne nižšia a takéto teleso vydáva o oktávu nižší zvuk. Podobne je to aj s dĺžkou struny. Dvojnásobne dlhšia struna kmitá dvakrát pomalšie a jej tón znie o oktávu nižšie.

Jednotlivé tóny sa teda dajú vyjadriť pomerom ich frekvencií. Zhrňme si tieto pomery do tabuľky :

Interval pomer rel. frekvencia
oktáva 2:1 2
kvinta 3:2 1,5
kvarta 4:3 1,33
tercia 5:4 1,25
malá tercia 6:5 1,2

Ak napríklad základný tón má frekvenciu 100 Hz (100 kmitov struny za sekundu), kvinta od tohto tónu bude mať frekvenciu 150 Hz (číslo 100 zväčšíme pomerom 3:2), kvarta bude mať frekvenciu 133 Hz (4:3) a tercia 125 Hz (5:4).


Pythagorejské ladenie

Ladenie, kde sú dodržané tieto pomery, sa nazýva čisté alebo Pythagorejské. Pythagoras si zároveň všimol, že keď zahrá 7 oktáv, frekvencia najvyššieho – siedmeho tónu bude veľmi blízka tónu, ktorý dostane, keď zahrá 12 kvínt. Je to niečo ako spoločný násobok kvínt a oktáv. Pomer frekvencií medzi primou a siedmou oktávou bude 2na7 : 1, teda 128 : 1. Pomer frekvencií medzi primou a dvanástou kvintou je 1,5na12 : 1, teda 129,746 : 1. Pomery sú také blízke, že bežný človek by si rozdiel v tónoch ani nevšimol. Podiel čísel 129,746 a 128,0 je 1,013643 a nazýva sa Pythagorejská koma. Je to rozdiel medzi relatívnou frekvenciou dvanástej kvinty a siedmej oktávy.

Keby sme relatívnu frekvenciu každej kvinty troštičku znížili, relatívna frekvencia dvanástej kvinty by sa presne zhodovala s rel. frekvenciou siedmej oktávy, teda pomer medzi primou a dvanástou takto upravenou kvintou by bol tiež 128 : 1. Vtedy by sa aj každá oktáva dala rozdeliť na 12 rovnakých dielov – poltónov a pomer medzi hocakými susednými poltónmi by bol rovnaký. Skúsme teda vykonať túto zmenu. Keďže poltónov je 12 a pomer medzi prvým a posledným poltónom (medzi primou a oktávou) má byť 2 : 1, pomer medzi susednými poltónmi je také K, že K.K.K .. K = Kna12 = 2. Z toho vypočítame, že K je 12. odmocnina z 2, teda 1,059463. Je to zároveň pomer frekvencií medzi primou a zníženou sekundou. Tento pomer 1,06 je navyše dosť veľký na to, aby sme dva poltóny od seba bez problémov sluchovo odlíšili.

Temperované ladenie

Ladenie, kde pomer medzi poltónmi je rovnaký, sa nazýva temperované rovnomerné ladenie. Pri temperovanom ladení napríklad relatívna frekvencia kvinty, ktorá je vzdialená 7 poltónov od primy, je Kna7 = 1,4983. Vidíme, že oproti čistému ladeniu je táto frekvenia trošku nižšia ako 1,5. Ak sú ale naladené temperovaným ladením všetky nástroje hrajúce súčasne v orchestri, rozdiel vo frekvencii tónov sa neprejaví a skladba znie čisto.
Hra na nástroji s temperovaným ladením nedosahuje lahodnosť čistého ladenia, pretože tu nie sú úplne presne dodržané Pythagorom objavené pomery, napr. 3:2 pri kvinte. Výhodou je, že oktáva je rovnomerne rozdelená na 12 poltónov, čo má oveľa väčšie praktické využitie. Rovnomernosť je výhodná aj pri umelej syntéze tónov napríklad v elektronických syntetizátoroch a klavíroch, kde jednotlivé tóny generuje laditeľný oscilačný obvod.

Tabuľka relatívnych frekvencií pri čistom a temperovanom ladení

interval pomer relat. frek. relat. frek.
čisté temperované
oktáva 2:1 2.0000 2.0000
kvinta 3:2 1.5000 1.4983
kvarta 4:3 1.3333 1.3348
tercia 5:4 1.2500 1.2599
tercia m. 6:5 1.2000 1.1892
sekunda 9:8 1.1250 1.1225
sekunda m. 16:15 1.0667 1.0595
prima 1:1 1.0000 1.0000

7 oktáv (2:1)na7 128.0000 128.0000
12 kvínt (3:2)na12 129.7463 128.0000

Pythagorejská koma (3:2)12 / 27 1.013643


Mimochodom, keď už poznáme koeficient K=1,059463 ako pomer frekvencií dvoch poltónov a porovnáme ho s Pythagorejskou komou, ktorá má hodnotu 1,013643 , vidíme, že Pythagorejská koma je o dosť menšia ako K, teda na dvanástich kvintách v čistom ladení by vznikla odchýlka od siedmych oktáv oveľa menšia ako jeden poltón.

Preto temperované ladenie príliš veľkú chybu nespôsobí.

Stupnice

Rad 12 poltónov tvorí spektrum oktávy a ak ich zahráme, dostaneme chromatickú stupnicu. V bežnej hudobnej praxi sa v stupniciach nepoužíva všetkých 12 tónov, ale menej, obyčajne 8. Podľa toho, ktoré tóny do stupnice vyberieme, dostávame rôzne tónotvary a tóniny. Diatonický výber zo spektra oktávy tvorí 8 tónov, z nich je 6 celých a 2 poltóny (napr. v durovej stupnici sú poltóny medzi 3. a 4. tónom a medzi 7. a 8. tónom). Diatonický výber predstavujú na klavíri biele klávesy.
Spôsob výberu tónov do tóniny určuje istý charakter skladby, jej tvrdosť či mäkkosť. „Svojskými“ tóninami sa vyznačujú aj určité národy alebo kraje v rámci jedného štátu. Okrem zaužívaných tónin ako durová, molová, lydická, myxolidická, melodická, dórska, frygická a ďalších si môže skladateľ zostaviť aj vlastnú. Jednoducho vyberie určitých sedem tónov, ktoré sa budú v skladbe často používať a tie mu vytvoria novú umelú tóninu. Je možné, že tóny tejto novej tóniny dodajú skladbe zvláštny, neopakovateľný ráz. Vo veľkej väčšine prípadov si však skladatelia vystačia so známymi tóninami.
Väčšina tónin sa skladá z tónov, ktoré majú poltónové alebo celotónové vzdialenosti. Niektoré tóniny však majú medzi tónmi aj trojpoltónové vzdialenosti. Takáto vzdialenosť na nazýva hiát a dodáva tónine zvláštnu „farbu“. Hiáty nájdeme napríklad v tónine harmonickej, moldurovej a cigánskej.

Zaujímavosťou je, že existujú aj štvrťtónové nástroje, napríklad štvrťtónový klavír. Tam je vzdialenosť medzi tónmi štvrť tóna a oktáva má 24 tónov. Pomer frekvencií medzi susednými tónmi je 24. odmocnina z 2 =1,0293.

Výpočet dĺžky pražcov na gitare

Matematické vzťahy a konštanty odvodené v predchádzajúcich kapitolách nám okrem iného môžu poslúžiť na to, aby sme vypočítali veľkosti pražcov na gitare. Ak bude dĺžka pražcov v súlade s teóriou, gitara bude dobre ladiť.
Ak má voľná struna dĺžku L a frekvenciu kmitania f, struna stlačená presne v polovici bude mať dĺžku voľnej časti (tej, ktorá kmitá) L/2, frekvencia kmitania bude 2f a podľa zistení Pythagora bude vydávaný tón o oktávu vyšší. Ak strunu stlačíme vo vzdialenosti x od horného konca, kmitať bude len voľná časť struny s dĺžkou L-x. Struna sa skráti L/(L-x) krát a frekvencia kmitania bude f. L/(L-x) Hz.

Pri stlačení n-tého pražca chceme, aby sa tón zvýšil o n poltónov, teda aby pri temperovanom ladení bola frekvencia (K na n)- krát vyššia, čo je f .(K na n).

f .(K na n) L
Z rovnice --------------- = ------------ (1)
f L – x

(K na n) - 1
dostaneme x = L. ----------------- (2)
(K na n)


Pre prvý poltón je n = 1, čo dosadíme do vzorca (2). Potom x = L. 0,0561 , čo je veľkosť prvého pražca. Keby mala voľná struna dĺžku 50 cm, veľkosť prvého pražca by bola 50. 0,0561 = 2.81 cm.
Pre druhý poltón je n = 2 a po dosadení do vzorca (2) bude x = L. 0,1091 , čo je veľkosť prvých dvoch pražcov. Veľkosť prvého pražca už poznáme, takže veľkosť samotného druhého pražca je L. 0,1091 - L. 0,0561 = L. 0.053. Pre 50 cm strunu je to 2.65 cm. Takto postupne môžeme vypočítať veľkosť všetkých pražcov gitary pri temperovanom ladení.

Zdroje:

Hudobná teória I. pre konzervatória -