Pythagora nezaujímali len trojuholníky

Hudba a matematika

Keď sa raz Pythagoras prechádzal po trhu, kde trhovníci ponúkali na predaj okrem iného zvončeky, všimol si, že čím je zvonček väčší, tým nižší zvuk vydáva. Podobnú vec si všimol idúc okolo kováčskej dielne. Menšia nákova vydávala pri úderoch kladiva vyššie tóny a väčšia nákova zas nižšie tóny. V hlave starovekého matematika a fyzika sa začali črtať prvé myšlienky – vzťah medzi hudbou a matematikou. Nelenil ani chvíľu. Požičal si od kováča dve nákovy, u ktorých si všimol, že ich tóny sú od seba vzdialené o jednu oktávu. Odvážil ich a zistil, že pomer ich hmotností je 2:1. Od iného kováča si požičal nákovy, u ktorých boli tóny od seba vzdialené o kvintu. Tu bol pomer hmotností 3:2. Pythagoras si uvedomil, že ak sa pomer hmotností, dĺžok alebo hrúbok dvoch predmetov dá vyjadriť malými celými číslami, tóny, ktoré počujeme, tvoria najkrajšie čisté intervaly : oktávy, kvinty a kvarty. Frekvencia kmitania dvojnásobne ťažšieho telesa je dvojnásobne nižšia a takéto teleso vydáva o oktávu nižší zvuk. Podobne je to aj s dĺžkou struny. Dvojnásobne dlhšia struna kmitá dvakrát pomalšie a jej tón znie o oktávu nižšie.

Jednotlivé tóny sa teda dajú vyjadriť pomerom ich frekvencií. Zhrňme si tieto pomery do tabuľky :

Interval pomer rel. frekvencia
oktáva 2:1 2
kvinta 3:2 1,5
kvarta 4:3 1,33
tercia 5:4 1,25
malá tercia 6:5 1,2

Ak napríklad základný tón má frekvenciu 100 Hz (100 kmitov struny za sekundu), kvinta od tohto tónu bude mať frekvenciu 150 Hz (číslo 100 zväčšíme pomerom 3:2), kvarta bude mať frekvenciu 133 Hz (4:3) a tercia 125 Hz (5:4).


Pythagorejské ladenie

Ladenie, kde sú dodržané tieto pomery, sa nazýva čisté alebo Pythagorejské. Pythagoras si zároveň všimol, že keď zahrá 7 oktáv, frekvencia najvyššieho – siedmeho tónu bude veľmi blízka tónu, ktorý dostane, keď zahrá 12 kvínt. Je to niečo ako spoločný násobok kvínt a oktáv. Pomer frekvencií medzi primou a siedmou oktávou bude 2na7 : 1, teda 128 : 1. Pomer frekvencií medzi primou a dvanástou kvintou je 1,5na12 : 1, teda 129,746 : 1. Pomery sú také blízke, že bežný človek by si rozdiel v tónoch ani nevšimol. Podiel čísel 129,746 a 128,0 je 1,013643 a nazýva sa Pythagorejská koma. Je to rozdiel medzi relatívnou frekvenciou dvanástej kvinty a siedmej oktávy.