Zlatý rez v umení

Mohlo by sa zdať, že v oblasti ľudskej činnosti matematika a umenie stoja na protiľahlých póloch, ba že sa niekedy až vylučujú. Ale i v matematike je kus umenia. Matematik Sobolev napísal:

"Skutočným matematikom je ten, kto nielen úlohu rieši, ale snaží sa vyriešiť ju pekne."

Dodnes obdivujeme dokonalosť antického sochárskeho umenia. Jeho krása spočíva v zachovaní proporcií. Antickí sochári tvorili nielen na základe umeleckej intuície, ale aj na základe vypočítaných proporcií. Geometria sa tak stala prostriedkom pre vyjadrenie harmónie tvaru ľudského tela. O vzťahu matematiky a umenia svedčí i to, že mnohí vynikajúci výtvarníci boli výbornými matematikmi, napr. Leonardo da Vinci alebo Albrecht Dürer.

Obraz a zlatý rez

Na základe estetických rozborov a experimentov sa poznalo, že niektoré číselné vzťahy sa často opakujú. Zrejme v nich nachádzame záľubu. Jedným z týchto tajomných vzťahov je zlatý rez. Pri tvorbe obrazových formátov sa používa pomer zlatého rezu pre výšku i šírku rámu. Rám v tvare zlatého obdĺžnika je pretiahnutý formát naležato, často používaný pre obrazy mora. So zlatým rezom sa stretávame aj pri umiestňovaní hlavného motívu obrazu do plochy formátu. Esteticky omnoho účinnejšie je umiestnenie mimo geometrického stredu, do tzv. stredu optického, ktorý býva daný použitím pomeru zlatého rezu alebo dvojitého zlatého rezu.(viď obrazy Picassa a Mondriana)

Zlatý rez sa uplatňuje v mnohých maliarskych kompozíciách najrôznejších období. Známy obraz Leonarda da Vinci "Posledná večera" je taký pôsobivý práve preto, že postavy na ňom sú rozdelené bielym obrusom podľa zlatého rezu. I Raffaelova "Sixtinská madona" môže byť vtesnaná do pomerov zlatého rezu. Maliar však obraz zložito nepremeriava, ale necháva sa viesť citom, ktorý mu určuje pomery rozmerov v obraze, vzťahy častí k celku aj ich umiestneniu do formátu.

Proporcie ľudského tela

Najmä v renesancii sa pestovala a udržovala mienka, že najkrajšie sú útvary, v ktorých možno nájsť zlatý rez. Učitelia radili svojim maliarskym učňom konštruovať telo podľa zlatého rezu. Filozofovia zaoberajúci sa estetikou našli na ľudskom tele zlatý rez v pomere dĺžok nad pásom a pod pásom. A tieto časti tela môžeme znovu rozdeliť na dve časti v pomere 0,618 : 1. Hranicami sú ďalšie dve zúženia na ľudskom tele - krk a noha tesne pod kolenom. Zlatý rez je však statická hodnota. Je to akýsi ideálny priemer a každý človek s ním nie je na milimeter totožný. A naviac platí pre akéhosi obojpohlavného človeka, pretože je priemerom hodnôt nameraných u žien i mužov. V skutočnosti je hodnota 0,618 u mužov trochu menšia a u žien väčšia. Dievčatá by mali mať dlhšie nohy a chlapci v pomere k svojej výške viac vyvinutú hornú, hrudnú časť.

Stupeň krásy určitej postavy je v tom, ako veľmi sa jej proporcie priblížili k priemerným, resp. normálnym proporciám. Indivíduí s priemernými proporciami je však pomerne málo a u väčšiny ľudí kolísajú okolo tohoto priemeru. Priemerné proporcie sú teda základom, z ktorého umelec pri svojej tvorbe musí vychádzať. Pokiaľ si konštruuje alebo používa kánon (vzorové rozmery), musí si uvedomiť, že ide len o jednoduché pravidlo, resp. pomôcku, a to že kánon vyjadruje hodnoty iba blízke priemeru, a že i dobrý kánon sa nehodí na všetky prípady, obzvlášť nie na extrémne. Prakticky sa proporcie skôr cítia, než merajú. Značný význam má štúdium proporcií a použitia správneho kánonu najmä v sochárstve, menej v maliarstve, kde záleží viac na bezprosrednom postrehu umelca, pretože maliar sa stretává vždy s perspektívnym skreslením tela, čím sa aplikácia kánonu stáva niekedy nemožnou. V historickom slede bolo konštruované veľké množstvo kánonov, z ktorých niektoré mnohé umelecké školy doposiaľ používajú. "Ondrejov kríž" je kánonom rímskeho staviteľa Vitruvia. Podľa neho sa dĺžka rozpätých horných končatín rovná výške tela a je teda možné ľudské telo zakresliť do štvorca. Okolo tejto figúry opísal kružnicu - stred je v pupku - ktorý sa tým stal prirodzeným stredom, nie však poliacim bodom tela. Túto tzv. Vitruviovu figúru používal v renesancii Leonardo da Vinci a Albrecht Dürer.

Leonardo da Vinci si tento kánon upravil. Na obrázku proporčnej štúdie Ondrejovho kríža majú obdĺžniky strany v pomere zlatého pomeru. V rovnakom pomere sú umiestnené na ľudskej ruke zápästné kĺby. Adolf Zeissing prehlásil pravidlo zlatého rezu za zákon proporcionality. Podľa neho je vzdialenosť od temena k pupku ku vzdialenosti pupku od podložky v rovnakom pomere ako táto vzdialenosť k výške tela. Zlatý rez platí podľa neho pre všetky časti tela (aj pre končatiny), preto dĺžka predlaktia s rukou je k dĺžke paže v tom istom pomere ako dĺžka celej hornej končatiny k predlaktiu s rukou.Moslimské umenie

Moslimovia nepovoľujú žiadne ilustrácie "Božieho stvorenia", a preto boli nútení siahnuť k matematike, aby našli spôsob dekorácie ich kultovných miest. Fibonacciho postupnosť extenzívne charakterizuje islamskú výzdobu. Akási zjednodušená schéma toho, ako mohol takýto motív vzniknúť:

Obrázok ukazuje 3 diagramy, ktoré sú rozpoznateľnými číslami Fibonacciho postupnosti v najvrchnejšej línii obrázku (ľavá strana). Prvé dvojčíslie je 8 + 5 = 13, ale 13 je redukovaných na 3 + 1 = 4. Podobne aj ďalšie dvojčíslie 8 + 9 = 17 je redukované na 8 atď.. Tento proces nazývaný Kabalistická redukcia (prevod) je často používanou metódou pre manipuláciu s číslami. Ďalší riadok ukazuje výber alternujúcich čísel okrem 9. Z tohto riadku bol - ako je možné vidieť na troch obrázkoch - generovaný vzor v závislosti od číselnej postupnosti, a potom aj výsledný dekoratívny vzor.
Ďalší obrázok ukazuje dizajn obsahujúci pentagonálne a hexagonálne tvary používané v mešitách, ktoré boli odvodené zo spojitosti s Fibonacciho postupnosťou a Zlatým pomerom.

Architektúra

Vyznávači zlatého rezu hľadali oporu pre svoje tvrdenia v plánoch architektúr všetkých dôb i slohov. Najväčší pamätník zlatého rezu vidia niektorí bádatelia v Cheopsovej pyramíde.

Pomer plochy podstavy tejto pyramídy k ploche jej plášťa je rovný pomeru plochy plášťa k celému jej povrchu. Nech je c výška bočnej steny, a polovica strany podstavy, a h výška pyramídy, potom platí a : h = h : c. Uhol medzi podstavou a stenami pyramídy je 51°50´, čo je presne hodnota korešpondujúca s uhlom v trojuholníku o stranách 1, odmodcnina z a (a, h, c). Tento trojuholník je jediný pravouhlý trojuholník so stranami, ktorých veľkosti tvoria geometrickú postupnosť. V skutočnosti je a : h = 0,785 a h : c = 0,786, čo je zhoda skutočne nápadná, ale jej predpoklady sú príliš umelé a neodpovedajú citu vtedajšieho obyvateľstva a stavu vtedajšej geometrie.

Starí Gréci zlatý rez poznali a architekti Itkinos a Kaligrates ho mohli použiť pri stavbe chrámu Parthenón na Akropole.

Parthenón je typický dórský chrám s ôsmimi stĺpmi spredu aj zozadu a je nepochybne najkrajším chrámom postaveným týmto štýlom. Do priečelí Parthenónu je možné nakresliť časť pravidelného desaťuholníka, ktorý má súvislosť so zlatým pomerom.

A nie iba tam. Na schéme pôdorysu tohoto monumentu možno nájsť ďalšie desaťuholníky vpísané sústredným kružniciam.

Gréci videli v číslach krásu a milovali ušľachtilé tvary. Svojich pokračovateľov našli i omnoho neskôr napr. v gotike pri stavbe chrámu Notre-Dame v Paríži, v kompozícii fasád chrámov ruskej architektúry 12. storočia, v dielach architekta Le Corbusiera alebo v architektúre budovy Organizácie spojených národov v New Yorku. Zlatý rez však nemožno dokázať všeobecne a nemožno hovoriť o jeho akejsi všeobecne platnej umeleckej prednosti pred inými proporciami.